Question

（2012•鼓楼区二模）如图，已知边长为10的菱形ABCD，对角线BD、AC交于点O，AC=12，点P在射线BD上运动，过点P分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．
（1）对角线BD长为

16

；
（2）设PB=x，以PO为半径的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时，求x的值．

Answer 1

分析：（1）根据菱形性质求出AO长，OB=OD，AC⊥BD，根据勾股定理求出BO，即可求出BD；
（2）设PB=x，则PD=BD-PB=16-x．在Rt△PFD中，求出DF=DP•cos∠ADB=

4

5

（16-x），分为两种情况：①当⊙P与⊙D外切时：第一种情况，当P点在点O的左侧，PO=8-x，根据相切两圆性质得出PO+DF=PD，代入得出方程（8-x）+

4

5

（16-x）=16-x，求出x即可；第二种情况，当P点在点O的右侧，PO=x-8，根据相切两圆的性质得出PO+DF=PD，代入得出方程（x-8）+

4

5

（16-x）=16-x，求出方程的解即可；②当⊙P与⊙D内切时：第三种情况，PO=PB-OB=x-8，根据OP-DF═PD，得出方程（x-8）-

4

5

（16-x）=16-x，求出即可；第四种情况，点P在点D右侧时，PF=OD=8，则DP=10，PB=26．

解答：（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC=

1

2

AC=6，OB=OD，AC⊥BD，
由勾股定理得：BO=

AB2-AO2

=

102-62

=8，
∴BD=16，
故答案为：16．
（2）PB=x，则PD=BD-PB=16-x．
∵PF⊥AD，
∴在Rt△PFD中，DF=DP•cos∠ADB=

4

5

（16-x）；
①当⊙P与⊙D外切时：
情况一：当P点在点O的左侧，
PO=OB-PB=8-x，此时PO+DF=PD，
∴（8-x）+

4

5

（16-x）=16-x，
解得，x=6；
情况二：当P点在点O的右侧，
PO=PB-OB=x-8，
此时PO+DF=PD，
∴（x-8）+

4

5

（16-x）=16-x，
解得，x=

28

3

；
②当⊙P与⊙D内切时：
情况三：点P在D的左侧时，
PO=PB-OB=x-8，
∵PD＞DF，
∴DF-OP═PD，
∴（x-8）-

4

5

（16-x）=16-x，
解得，x=

92

7

；
情况四：点P在点D右侧时，
DF=OD=8，则DP=10，PB=26，
综上所述，PB的长为6或

92

7

或

28

3

或26．

点评：本题考查了解直角三角形，菱形的性质，勾股定理，相切两圆的性质等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，难度偏大，注意要进行分类讨论．