Question

（2012•闵行区三模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为边AB、DC的中点，CG∥DE，交EF的延长线于点G．
（1）求证：四边形DECG是平行四边形；
（2）当ED平分∠ADC时，求证：四边形DECG是矩形．

Answer 1

分析：（1）首先证明△DEF≌△CGF可得DE=CG，再加上条件CG∥DE，可以根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形DECG是平行四边形．
（2）首先证明∠DEF=∠EDF，∠FEC=∠ECF，再证明∠EDC+∠DCE+∠DEC=180°，从而得到2∠DEC=180°进而得到∠DEC=90°，再有条件四边形DECG是平行四边形，
可得四边形DECG是矩形．

解答：证明：（1）∵F是边CD的中点，
∴DF=CF．
∵CG∥DE，
∴∠DEF=∠CGF．
又∵∠DFE=∠CFG，
∴△DEF≌△CGF（AAS），
∴DE=CG，
又∵CG∥DE，
∴四边形DECG是平行四边形．

（2）∵ED平分∠ADC，
∴∠ADE=∠FDE．
∵E、F分别为边AB、DC的中点，
∴EF∥AD．
∴∠ADE=∠DEF．
∴∠DEF=∠EDF，
∴EF=DF=CF．
∴∠FEC=∠ECF，
∴∠EDC+∠DCE=∠DEC．
∵∠EDC+∠DCE+∠DEC=180°，
∴2∠DEC=180°．
∴∠DEC=90°，
又∵四边形DECG是平行四边形，
∴四边形DECG是矩形．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，矩形的判定，关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理．