Question

2．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+k的图象与反比例函数y=-$\frac{4}{x}$的图象交于点A（-4，n）和点B．
（1）求k的值和点B的坐标；
（2）若P是x轴上一点，且AP=AB，直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标带入反比例函数解析式中，求出n值，再将A点的坐标带入一次函数解析式中即可求出k值，联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设出点P的坐标为（m，0）．根据两点间的距离公式表示出线段AP和AB的长度，根据AP=AB得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）把A（-4，n）代入$y=-\frac{4}{x}$中，
得：n=-$\frac{4}{-4}$=1，
把A（-4，1）代入y=-x+k中，
得：1=-（-4）+k，解得：k=-3．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}y=-x-3\\ y=-\frac{4}{x}.\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=1.\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-4.\end{array}\right.$．
∴点B的坐标是（1，-4）．
（2）设点P的坐标为（m，0）．
则：AB=$\sqrt{（-4-1）^{2}+[1-（-4）]^{2}}$=5$\sqrt{2}$，AP=$\sqrt{（-4-m）^{2}+（1-0）^{2}}$．
∵AP=AB，
∴5$\sqrt{2}$=$\sqrt{（-4-m）^{2}+（1-0）^{2}}$，即m²+8m-33=0，
解得：m₁=-11，m₂=3．
答：点P的是坐标（3，0）或（-11，0）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、待定系数法求函数解析式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）联立两函数解析式成方程组；（2）找出关于m的一元二次方程．本题属于基础题，难道不大，解决该题型题目时，结合数量关系找出方程（或方程组）是关键．