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如图,已知△ABC中 AB=AC,∠A=36°,使点A、B重合对折,折痕为MD,连接BD.若△BCD的周长为5,BC=2.
(1)图中除△ABC外还有哪些等腰三角形,并选其中一个三角形说明理由.
(2)求△ABC的周长.
(3)求折痕MD的长.
分析:(1)折叠的实质是图形的全等,所以由题意可知△ADM≌△BDM,即可得到相等的角,进而判定三角形为等腰三角形;
(2)因为三角形BCD的周长为5,即:BD+CD+BC=5,由(1)可知BD=AD,又AD+CD=AC,所以可以求出AC的值,进而求出三角形ABC的周长;
(3)由题意可知,M为AB的中点,并且DM⊥AB,所以AM是AB的一半,再求出AD的长,利用勾股定理即可求出折痕DM的长.
解答:解:(1)△ADB、△BDC是等腰三角形.
证明:∵点A、B重合对折,折痕为MD,
∴△ADM≌△BDM,
∴∠A=∠ABD,
∴BD=AD,
即△ADB是等腰三角形;

(2)由(1)知:BD=AD,
∵△BCD的周长为5,
∴BD+CD+BC=5,
又AD+CD=AC,
∴AC+BC=5,
∴AC=5-BC=5-2=3,
∴△ABC的周长为AC+BC+AB=5+3=8;

(3)∵AC=3,M为AB中点,
∴AM=
3
2
,MD⊥AB,
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠ACB=72°,
又∴∠A=∠ABD=36°,
∴∠DBC=36°,∠BDC=72°
∴BD=BC=AD=2,
在Rt△AMD中,由勾股定理得,DM=
AD2-AM2
=
22-(
3
2
)2
=
7
2

∴折痕MD的长为
7
2
点评:本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的判定和等腰三角形的性质以及勾股定理的运用,题目难度不大,但综合性很强.
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12
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