Question

如图，已知△ABC中 AB=AC，∠A=36°，使点A、B重合对折，折痕为MD，连接BD．若△BCD的周长为5，BC=2．
（1）图中除△ABC外还有哪些等腰三角形，并选其中一个三角形说明理由．
（2）求△ABC的周长．
（3）求折痕MD的长．

Answer 1

分析：（1）折叠的实质是图形的全等，所以由题意可知△ADM≌△BDM，即可得到相等的角，进而判定三角形为等腰三角形；
（2）因为三角形BCD的周长为5，即：BD+CD+BC=5，由（1）可知BD=AD，又AD+CD=AC，所以可以求出AC的值，进而求出三角形ABC的周长；
（3）由题意可知，M为AB的中点，并且DM⊥AB，所以AM是AB的一半，再求出AD的长，利用勾股定理即可求出折痕DM的长．

解答：解：（1）△ADB、△BDC是等腰三角形．
证明：∵点A、B重合对折，折痕为MD，
∴△ADM≌△BDM，
∴∠A=∠ABD，
∴BD=AD，
即△ADB是等腰三角形；

（2）由（1）知：BD=AD，
∵△BCD的周长为5，
∴BD+CD+BC=5，
又AD+CD=AC，
∴AC+BC=5，
∴AC=5-BC=5-2=3，
∴△ABC的周长为AC+BC+AB=5+3=8；

（3）∵AC=3，M为AB中点，
∴AM=

3

2

，MD⊥AB，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
又∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=36°，∠BDC=72°
∴BD=BC=AD=2，
在Rt△AMD中，由勾股定理得，DM=

AD2-AM2

=

22-( 3 2 )2

=

7

2

，
∴折痕MD的长为

7

2

．

点评：本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的判定和等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，题目难度不大，但综合性很强．