Question

在直角三角形中，求证：r+r_a+r_b+r_c=2p．式中r，r_a，r_b，r_c分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p表示半周．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：证明题

分析：设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：p（p-c）=（p-a）（p-b）．

解答：证明：设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：
p（p-c）=（p-a）（p-b）．
∵p（p-c）=

1

2

（a+b+c）•

1

2

（a+b-c）
=

1

4

[（a+b）²-c²]
=

1

2

ab；
（p-a）（p-b）=

1

2

（-a+b+c）•

1

2

（a-b+c）
=

1

4

[c²-（a-b）²]=

1

2

ab．
∴p（p-c）=（p-a）（p-b）．①
观察图形，可得

r_a=AF-AC=p-b，
r_b=BG-BC=p-a，
r_c=CK=p．
而r=

1

2

（a+b-c）
=p-c．
∴r+r_a+r_b+r_c
=（p-c）+（p-b）+（p-a）+p
=4p-（a+b+c）=2p．
由①及图形易证．

点评：本题考查了三角形的内切圆，是一道难度较大的题目．