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已知关于x的两个方程ax2+bx+c=0①,与ax2+(b-a)x+c-b=0②,它们的系数满足a>b>c,方程①有两个异号实数根.
(1)证明:方程②一定有两个不相等的实数根;
(2)若1是方程①的一个根,方程②的两个根分别为x1、x2,令k=
c
a
,问:是否存在实数k,使
x
2
1
x2+x1
x
2
2
=9
?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明现由.
分析:(1)表示出根的判别式△,再根据方程①有两个异号实数根求出a、c异号,从而确定出△>0,然后根据当△>0,方程有两个不相等的实数根证明即可;
(2)利用根与系数的关系表示出x1+x2、x1x2,再根据1是方程①的一个根用a、c表示出b,然后把x12x2+x1x22分解因式并整理成关于a、c的式子,再转化为k的代数式,然后解方程求出k的值,再根据方程①有两个异号实数根判断出k的取值范围,从而得解.
解答:(1)证明:△=(b-a)2-4a(c-b)=(a+b)2-4ac,
∵方程①有两个异号实数根,
∴a≠0,且
c
a
<0,
∴ac<0,
∴-4ac>0,
∵(a+b)2≥0,
∴△=(a+b)2-4ac>0,
∴方程②一定有两个不相等的实数根;

(2)解:∵x1、x2是方程②的两根,
∴x1+x2=-
b-a
a
=
a-b
a
,x1x2=
c-b
a

∵1是方程①的一个根,
∴a+b+c=0,
∴-b=a+c,
∴x12x2+x1x22=x1x2(x1+x2)=
c-b
a
a-b
a
=
c+a+c
a
a+a+c
a
=(1+
2c
a
)(2+
c
a
),
∵k=
c
a

∴x12x2+x1x22=(1+2k)(2+k)=2k2+5k+2=9,
整理得,2k2+5k-7=0,
解得k1=-
7
2
,k2=1,
∵方程①有两个异号实数根,
∴a≠0,k=
c
a
<0,
∴k=-
7
2
点评:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2-4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
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方程①:(1+
k
2
)x2+(k+2)x-1=0
;   
方程②:x2+(2k+1)x-2k-3=0.
(1)若方程①有两个相等的实数根,求解方程②;
(2)若方程①和②中只有一个方程有实数根,请说明此时哪个方程没有实数根,并化简
1-
4k+12
(k+4)2

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(2)若1是方程①的一个根,方程②的两个根分别为x1、x2,令数学公式,问:是否存在实数k,使数学公式?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明现由.

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