Question

【题目】如图等边，以为直径的交于点，交于，于，下列结论正确的是：________．①是中点；②；③是的切线；④．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

连接AP．根据圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”的性质推知点P是线段BC的中点，同理证得点E是线段AC的中点；然后由三角形中位线定理，圆心角、弧、弦间的关系来证明；连接OP，由切线的判定证得OP⊥PF即可．

连接AP．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB=90°（直径所对的圆周角是直角），即AP⊥BC；
又∵AB=AC，
∴点P是线段BC的中点，
故①正确；
同理，点E是线段AC的中点，
∴AE=EC，
故④正确；
∵连接PE．
点P、E分别是线段BC、AC的中点，BC=AC=AB（等边三角形的三条边相等），
∴PE=AB（三角形中位线定理），BP=BC=AB，
∴BP=PE（等量代换），
∴，
故②正确；
连接OP．
∵点P是线段BC的中点，点O是线段AB的中点，
∴OP是△ABC的中位线，
∴OP∥AC；
又∵PF⊥AC，
∴PF⊥OP，
∵点P在⊙O上，
∴PF是⊙O的切线；
故③正确．
综上所述，正确的结论有①②③④．

故答案为：①②③④．