【题目】如图,,点、分别在、上,连接,、的平分线交于点,、的平分线交于点.
求证:四边形是矩形.
小明在完成的证明后继续进行了探索,过点作,分别交、于点、,过点作,分别交、于点、,得到四边形.此时,他猜想四边形是菱形.请在下列框图中补全他的证明思路.
小明的证明思路:由,,易证,四边形是平行四边形.要证□是菱形,只要证.由已知条件________,,可证,故只要证,即证,易证________,________,故只要证,易证,,________,故得,即可得证.
【答案】平分
【解析】
(1)由AB∥CD可得∠AEF=∠DFE,∠BEF=∠CFE,又由EG、FG、EH、FH均为角平分线可得DG∥FH,EH∥GF,且∠EGF=∠EHF=90°,故可得四边形EGFH为矩形;
(2)利用MN∥EF及FG是角平分线可证△NGF为等腰三角形,得NG=NF;再通过证明△MGE≌△QHF得MG=QF,从而得到NM=NQ进而证明四边形是菱形.
(1)证明:∵EH平分∠BEF,
∴∠FEH=∠BEF,
∵FH平分∠DFE,
∴∠EFH=∠DFE,
∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠DFE=180°,
∴∠FEH+∠EFH=(∠BEF+∠DFE)=×180°=90°,
∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°,
∴∠EHF=180°-(∠FEH+∠EFH)=180°-90°=90°,
同理可得:∠EGF=90°,
∵EG平分∠AEF,
∴∠EFG=∠AEF,
∵EH平分∠BEF,
∴∠FEH=∠BEF,
∵点A、E、B在同一条直线上,
∴∠AEB=180°,
即∠AEF+∠BEF=180°,
∴∠FEG+∠FEH=(∠AEF+∠BEF)=×180°=90°,
即∠GEH=90°
∴四边形EGFH是矩形;
(2) 答案不唯一:
由AB∥CD,MN∥EF,PQ∥EF,易证四边形MNQP是平行四边形,
要证MNQP是菱形,只要证MN=NQ,由已知条件:FG平分∠CFE,MN∥EF,
故只要证GM=FQ,即证△MGE≌△QFH,易证 GE=FH、∠GME=∠FQH.
故只要证∠MGE=∠QFH,易证∠MGE=∠GEF,∠QFH=∠EFH,∠GEF=∠EFH,即可得证;
故答案为:FG平分∠CFE,GE=FH、∠GME=∠FQH,∠GEF=∠EFH.
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【题目】如图,在锐角ΔABC中,已知AB=AC,D为底边BC上的一点,E为线段AD上的一点,且∠BED=∠BAC=2∠DEC,连接CE.
(1)求证:∠ABE=∠DAC
(2)若∠BAC=60°,试判断BD与CD有怎样的数量关系,并证明你的结论;
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【题目】某电脑销售商试销某一品牌电脑(出厂为元/台)以元/台销售时,平均每月可销售台,现为了扩大销售,销售商决定降价销售,在原来月份平均销售量的基础上,经月份的市场调查,月份调整价格后,月销售额达到元.已知电脑价格每台下降元,月销售量将上升台.
求月份到月份销售额的月平均增长率;
求月份时该电脑的销售价格.
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【题目】如图可以自由转动的转盘被等分,指针落在每个扇形内的机会均等.
现随机转动转盘一次,停止后,指针指向数字的概率为________;
小明和小华利用这个转盘做游戏,若采用下列游戏规则,你认为对双方公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由.
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【题目】下面是售货员与小丽的对话:
根据对话内容解答下列问题:
(1)A,B两种文具的单价各是多少元?
(2)若购买A,B两种文具共20件,其中A种文具的数量少于10件,且购买总费用不超过260元,共有哪几种购买方案?
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【题目】在平面直角坐标系中,规定把一个点先绕原点逆时针旋转45°,再作出它关于原点的对称点称为一次变换,已知点A的坐标为(﹣2,0),把点A经过连续2014次这样的变换得到的点A2014的坐标是_____.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是弧的中点,⊙O的切线BD交AC的延长线于点D,E是OB的中点,CE的延长线交切线BD于点F,AF交⊙O于点H,连接BH.
⑴求证:AC=CD.
⑵若OB=2,求BH的长.
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