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【题目】如图,,点分别在上,连接的平分线交于点的平分线交于点

求证:四边形是矩形.

小明在完成的证明后继续进行了探索,过点,分别交于点,过点,分别交于点,得到四边形.此时,他猜想四边形是菱形.请在下列框图中补全他的证明思路.

小明的证明思路:由易证,四边形是平行四边形.要证是菱形,只要证.由已知条件________,可证,故只要证,即证易证________________,故只要证易证________,故得,即可得证.

【答案】平分

【解析】

(1)AB∥CD可得∠AEF=∠DFE,∠BEF=∠CFE,又由EG、FG、EH、FH均为角平分线可得DG∥FH,EH∥GF,且∠EGF=∠EHF=90°,故可得四边形EGFH为矩形

(2)利用MN∥EFFG是角平分线可证△NGF为等腰三角形,得NG=NF;再通过证明△MGE≌△QHFMG=QF,从而得到NM=NQ进而证明四边形是菱形.

(1)证明:∵EH平分∠BEF,
∴∠FEH=∠BEF,
∵FH平分∠DFE,
∴∠EFH=∠DFE,
∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠DFE=180°,
∴∠FEH+∠EFH=(∠BEF+∠DFE)=×180°=90°,
∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°,
∴∠EHF=180°-(∠FEH+∠EFH)=180°-90°=90°,
同理可得:∠EGF=90°,
∵EG平分∠AEF,
∴∠EFG=∠AEF,
∵EH平分∠BEF,
∴∠FEH=∠BEF,
A、E、B在同一条直线上,
∴∠AEB=180°,
∠AEF+∠BEF=180°,
∴∠FEG+∠FEH=(∠AEF+∠BEF)=×180°=90°,
∠GEH=90°
四边形EGFH是矩形;
(2) 答案不唯一:
AB∥CD,MN∥EF,PQ∥EF,易证四边形MNQP是平行四边形,
要证MNQP是菱形,只要证MN=NQ,由已知条件:FG平分∠CFE,MN∥EF,
故只要证GM=FQ,即证△MGE≌△QFH,易证 GE=FH、∠GME=∠FQH.
故只要证∠MGE=∠QFH,易证∠MGE=∠GEF,∠QFH=∠EFH,∠GEF=∠EFH,即可得证;
故答案为:FG平分∠CFE,GE=FH、∠GME=∠FQH,∠GEF=∠EFH.

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