Question

如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，经过A、O的圆分别与AB、AD相交于E、F，EF与AO相交于G，AD=16．
（1）图中有哪些三角形与△AGF相似（只写出结论，不必证明）；
（2）试证明AE+AF是一个定值，并指出这个定值为多少？
（3）若AG：GO=3：5，且AF＞AE，求DH的长．

Answer 1

解：（1）与△AGF相似的有△EGO、△AEO、△DFO；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OD，∠BAO=∠DAO=45°，
在△AEO与△DFO中
，
∴△AEO≌△DFO（AAS），
∴AE=DF，
∴AE+AF=AD=16；
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴△OAD为等腰直角三角形，
∴OA=OD=AD=8，
∵AG：GO=3：5，
∴AG=3，GO=5，
∵△EGO∽△AEO，
∴OE：OA=OG：OE，即OE²=OA•OG=8•5=80，
∴OE=4，
∵∠EAO=∠EFO=45°，∠EOF=90°，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∴EF=OE=4，
∵△AGF∽△EGO，
∴AG：EG=FG：OG，即3：EG=（4-EG）：5，
解得EG=，EG=3（舍去），
∴AF：OE=AG：EG，即AF：4=3：，
∴AF=12，
∴DF=AD-AF=4，
∵DF•DA=DH•DO，
∴DH==4．
分析：（1）根据正方形的性质得到∠EAO=∠FAG=∠FDO=45°，根据同弧所对的圆周角相等得到∠OEG=∠OAF=45°，∠AOE=∠AFO，根据圆周角定理由∠EAF=90°得到EF为⊙O的直径，则∠EOF=90°，而∠AOD=90°，根据等角的余角相等得到∠AOE=∠DOF，然后利用三角形相似的判定可得到△AGF∽△EGO∽△AEO∽△DFO；
（2）首先可证△AEO≌△DFO，即可得AE=DF，继而求得AE+AF的值；
（3）根据正方形的性质可判断△OAD为等腰直角三角形，则OA=OD=AD=8，所以AG=3，GO=5，再由△EGO∽△AEO，利用相似比可计算出OE=4，
再判断△OEF为等腰直角三角形，则EF=OE=4，接着由△AGF∽△EGO，利用相似比可先计算EG=，再计算出AF=12，则DF=AD-AF=4，
然后根据切割线定理计算DH．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应角相等，对应边的比相等．也考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理和正方形的性质．