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如图,已知矩形ABCD,
(1)用没有刻度的直尺和圆规分别在AD和BC上找一个点E、F,使得四边形BEDF为一个菱形(不写作法,保留作图痕迹),并给出证明.
(2)若AD=8,CD=6,求此菱形边长BE和对角线EF的长度.
分析:(1)连接BD,作BD的垂直平分线交AD、BC与E、F,点E、F即为所求的点;根据垂直平分线的性质可得BE=ED,BF=DF,OB=OD,∠EOD=∠FOB=90°,然后再证明△EOD≌△FOB,可证出ED=BF,进而得到BE=ED=DF=BF,故四边形EBFD是菱形;
(2)设BE=x,则ED=x,AE=8-x,在Rt△AEB中利用勾股定理可以算出x的值,再在Rt△ADB中求出BD的长,然后再次利用勾股定理可以计算出EO,根据菱形的对角线互相平分可得EF的长.
解答:解:(1)连接BD,作BD的垂直平分线交AD、BC与E、F,连接BE,DF即可;
∵EF是BD的垂直平分线,
∴BE=ED,BF=DF,OB=OD,∠EOD=∠FOB=90°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
在△EOD和△FOB中
∠EDO=∠FBO
BO=DO
∠EOD=∠FOB

∴△EOD≌△FOB(ASA),
∴ED=BF,
∴BE=ED=DF=BF,
∴四边形EBFD是菱形;
(2)设BE=x,则ED=x,AE=8-x,
在Rt△AEB中:
∵BE2=AE2+AB2
∴x2=(8-x)2+62
解得:x=
25
4

∴BE=
25
4

在Rt△ADB中:
∵BD2=AB2+AD2
∴BD=
82+62
=10,
∴BO=5,
∴EO=
BE2-BO2
=
(
25
4
)2-52
=
15
4

∴EF=
15
2
点评:此题主要考查了菱形的判定与性质,以及勾股定理的应用,关键是正确画出图形,熟练掌握菱形的判定方法.
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精英家教网如图,已知矩形DEFG内接于Rt△ABC,D在AB上,E、F在BC上,G在AC上,∠BAC=90°,AB=6cm,AC=8cm,S矩形DEFG=
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,则矩形的边长DG=
 

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(1)当x为何值时,△MAN为等腰直角三角形?
(2)当x为何值时,有△MAN∽△ABC?
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),过点A、C交y轴于点E,S△AOE=
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S矩形ABCD,抛物线y=ax2+bx+c过点A、B,且顶点G在直线y=mx+n上,抛物线与y轴交于点F.
(1)点A的坐标为
(-3n,0)
(-3n,0)
;B的坐标
(-n,0)
(-n,0)
(用n表示);
(2)abc=
-
4
9
-
4
9

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