Question

如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠BAD=∠ABD=30°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．
（1）求证：△ADC△BDC；
（2）求证：DE平分∠BDC；
（3）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）证明BD=AD，运用SSS定理即可证明△BDC≌△ADC；
（2）通过△ACD≌△BCD，求出∠ADC=∠BDC=120°，进而证明∠BDE=∠CDE=60即可解决问题；
（3）连接MC，先证明△MDC是等边三角形，进而证明△ADC≌△EMC即可解决问题．

解答：证明（10
∵∠BAD=∠ABD=30°
∴BD=AD
在△BDC与△ADC中，

BC=AC BD=AD DC=DC

，
∴△BDC≌△ADC（SSS）．
（2）在等腰直角△ABC中，
∵∠BAC=∠ABC=45°，∠BAD=∠ABD=30°，
∴∠CAD=∠CBD=45°-30°=15°；
∵△ACD≌△BCD，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠ADC=∠BDC=180°-15°-45°=120°，
∠ADB=360°-120°-120°=120°，
∴∠BDE=∠CDE=180°-120°=60°，
即∠BDM=∠EDC，
∴DE平分∠BDC．
（3）如图，连接MC，
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，
∴CM=CD． 
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，
∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC． 
在△ADC与△EMC中，

∠ADC=∠EMC ∠CAD=∠CEB CD=CM

，
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME=AD=DB，
即ME=BD．

点评：该命题以三角形为载体，以考查等腰直角三角形、等边三角形的判定、全等三角形的判定及其性质的应用等知识点为核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．