Question

9．如图1，抛物线y=a（x-h）²+k的顶点A的坐标是（5，10），且该抛物线经过点（-1，4）．
（1）求a的值．
（2）如图2，点E为对称轴l左侧抛物线上一点，连接AE，过点E作AE的垂线，与对称轴l相交于点F，过点E作对称轴l的垂线，垂足为点G，求线段FG的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作对称轴l的垂线，与抛物线相交于点H，连接HE并延长与y轴相交于点P，设HF与y轴相交于点D，EF与y轴相交于点Q，连接HQ，若HQ=PQ，求点H坐标．

Answer 1

分析 （1）设抛物线解析式为y=a（x-5）²+10（a≠0），然后把点（-1，4）代入抛物线解析式求得a的值即可；
（2）设AG=d，EG=m．结合点A的坐标得到点E的坐标，并将点E的坐标代入函数解析式，经过计算得到d=$\frac{1}{6}$m²．然后由锐角三角函数的定义得到$\frac{EG}{GA}$=$\frac{FG}{EG}$，由此求得FG的长度；
（3）延长HF交抛物线于点N，连接EN，过点E作EM⊥HN，如答图2，构建全等三角形△FQH≌△FME，结合该全等三角形的对应边、角相等、锐角三角函数的定义得到$\frac{HD}{QD}$=$\frac{QD}{DF}$即（$\sqrt{{m}^{2}+36}$-5）$\sqrt{{m}^{2}+36}$=36，由此求得$\sqrt{{m}^{2}+36}$=9或$\sqrt{{m}^{2}+36}$=-4（舍去），所以DH=FH-DF=4，当x=-4时，y=-$\frac{1}{6}$（-4-5）²+10=-$\frac{7}{2}$，H（-4，-$\frac{7}{2}$）．

解答 （1）解：设抛物线解析式为y=a（x-5）²+10（a≠0），
把点（-1，4）代入，得4=a（-1-5）²+10，
解得a=-$\frac{1}{6}$；

（2）设AG=d，EG=m．如答图1，
∵A的坐标是（5，10），
∴点E的坐标是（5-m，10-d），
∴$\frac{1}{6}$（x-5）²+10=10-d，
解得d=$\frac{1}{6}$m²．
∵AE⊥EF，EG⊥AF，
∴tan∠EAG=tan∠FEG=$\frac{EG}{GA}$=$\frac{FG}{EG}$，
∴EG²=GA•FG，即m²=$\frac{1}{6}$m²FG，
∴FG=6．

（3）延长HF交抛物线于点N，连接EN，过点E作EM⊥HN，如答图2，
由（2）知，AF=$\frac{1}{6}$m+6，且AF=$\frac{1}{6}$HF²，
∴HF=NF=$\sqrt{{m}^{2}+6}$，
∴HM=$\sqrt{{m}^{2}+36-m}$，MN=$\sqrt{{m}^{2}+36}$+m，
∴MH•MN=$\sqrt{{m}^{2}+36-m}$•（$\sqrt{{m}^{2}+36}$+m）=36，
∴MH•MN=36=EM²，
∴$\frac{HM}{EM}$=$\frac{EM}{MN}$，
∴∠ENH=∠HEM，
∴∠HEN=∠HEM+∠MEN=∠ENM+∠MNE=90°，
∴EF=FH=FN，∠HEM=∠ENF=∠HPO=α，
∠EFM=2∠ENF=2α．
∵QH=QP，
∴∠QPH=∠QHP=α，
∴∠HQD=∠QFH=2α，
∴∠HQF=90°，
∴△FQH≌△FME，
∴FQ=FM=m，HQ=EM=FG=6，∠HQF=∠EMF=90°，
∴tan∠HQD=tan∠QFD=$\frac{HD}{QD}$=$\frac{QD}{DF}$，
∴（$\sqrt{{m}^{2}+36}$-5）$\sqrt{{m}^{2}+36}$=36，
解得$\sqrt{{m}^{2}+36}$=9或$\sqrt{{m}^{2}+36}$=-4（舍去），
∴FH=9，
∴DH=FH-DF=9-5=4，
当x=-4时，y=-$\frac{1}{6}$（-4-5）²+10=-$\frac{7}{2}$，
∴H（-4，-$\frac{7}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，着重考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．