Question

已知：如图，⊙O的直径AB等于4，以OA为直径作⊙O₁，BD切⊙O₁于C，交⊙O于D，连接AC、OC．
（1）求tan∠CAO的值；（2）求BD的长．

Answer 1

分析：（1）求tan∠CAO的值，即求

OC

AC

的值，易证得△BOC∽△BCA，则

OC

AC

=

BC

AB

；关键是求出BC的长，由切割线定理得BC²=BO•BA，由此可求得BC的长，即可得解．
（2）求BD的长，可过O作弦BD的垂线，设垂足为M；连接O₁C，则△BOM∽△BO₁C，可得BO：BO₁=BM：BC，由此可求得BM的长，进而可求出BD的长．

解答：解：（1）∵BC切⊙O₁于C，
∴BC²=BO•BA=2•4=8，即BC=2

2

；
由弦切角定理，得∠BCO=∠BAC；
又∵∠CBO=∠ABC，
∴△BOC∽△BCA；
∴

OC

AC

=

BC

AB

=

2 2

4

=

2

2

；
Rt△AOC中，tan∠CAO=

OC

AC

=

2

2

．

（2）连接O₁C，过O作OM⊥BD于M，则BD=2BM；
∵BD是⊙O₁的切线，
∴O₁C⊥BD；
∴OM∥O₁C；
∴

BO

BO1

=

BM

BC

，
∴BM=

BO•BC

BO1

=

4 2

3

；
∴BD=2BM=

8 2

3

．

点评：综合考查圆周角定理、切线的性质、切割线定理以及相似三角形的判定和性质．