在△ABC中.∠ACB=90°.分别以AB.BC为边向外作正方形ADEB和正方形BCFH．(1)当BC=a时.正方形BCFH的周长= ,(2)连接CE．试说明:三角形BEC的面积等于正方形BCFH面积的一半．(3)已知AC=BC=1.且点P是线段DE上的动点.点Q是线段BC上的动点.当P点和Q点在移动过程中.△APQ的周长是否存在最小值?若存在.求出这个最小值,若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、BC为边向外作正方形ADEB和正方形BCFH．
（1）当BC=a时，正方形BCFH的周长=

（用含a的代数式表示）；
（2）连接CE．试说明：三角形BEC的面积等于正方形BCFH面积的一半．
（3）已知AC=BC=1，且点P是线段DE上的动点，点Q是线段BC上的动点，当P点和Q点在移动过程中，△APQ的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）直接由正方形的性质得出答案即可；
（2）连接AH，证明△BHA≌△BCE，利用△BHA的面积=△BCE的面积得出结论；
（3）作点A关于DE的对称点A′，点A关于BC的对称点F，利用对称的性质得出△APQ的周长的最小值为A′F，进一步求得问题即可．

解答：解：（1）4a；

（2）如图，

连接AH，
在△BHA和△BCE中，

AB=BE

∠CBE=∠ABH

BC=BH

∴△BHA≌△BCE（SAS），
∴△BHA的面积=△BCE的面积=

正方形BCFH的面积；

（3），△APQ的周长存在最小值．
如图，

作点A关于DE的对称点A′，
∴AP=A′P，
点A关于BC的对称点F，
AQ=QF，
∴△APQ的周长的最小值为A′F，
过A′作A′M⊥FA交FA的延长线于M，
△AA′M为等腰直角三角形，
AA′=2

，
∴MA=MA′=2，
∴MF=4，
A′F=

，
∴△APQ的周长的最小值为

．

点评：此题综合考查正方形的性质，对称的性质，勾股定理的运用以及利用对称性求最短距离的问题，注意辅助线的作法．

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