如图,抛物线关于直线对称,与坐标轴交于三点,且,点在抛物线上,直线是一次函数的图象,点是坐标原点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若直线平分四边形的面积,求的值.
(3)把抛物线向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线与直线交于两点,问在轴正半轴上是否存在一定点,使得不论取何值,直线与总是关于轴对称?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由.
(1)因为抛物线关于直线x=1对称,AB=4,所以A(-1,0),B(3,0),
由点D(2,1.5)在抛物线上,所以,所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,
又,即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以.
(2)由(1)知,令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB,
令kx-2=1.5,得l与CD的交点F(),
令kx-2=0,得l与x轴的交点E(),
根据S四边形OEFC=S四边形EBDF得:OE+CF=DF+BE,
即
(3)由(1)知
所以把抛物线向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线的解析式为
假设在y轴上存在一点P(0,t),t>0,使直线PM与PN关于y轴对称,过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1,垂足分别为M1、N1,因为∠MPO=∠NPO,所以Rt△MPM1∽Rt△NPN1,
所以,………………(1)
不妨设M(xM,yM)在点N(xN,yN)的左侧,因为P点在y轴正半轴上,
则(1)式变为,又yM =k xM-2, yN=k xN-2,
所以(t+2)(xM +xN)=2k xM xN,……(2)
把y=kx-2(k≠0)代入中,整理得x2+2kx-4=0,
所以xM +xN=-2k, xM xN=-4,代入(2)得t=2,符合条件,
故在y轴上存在一点P(0,2),使直线PM与PN总是关于y轴对称.
科目:初中数学 来源: 题型:
如图,两条公路OA和OB相交于O点,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站E,使货站E到两条公路OA、OB的距离相等,且到两工厂C、D的距离相等,用尺规作出货站E的位置.(要求:不写作法,保留作图痕迹,写出结论)
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科目:初中数学 来源: 题型:
如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)交x轴于A、B两点,交y轴于C点,A点在B点的左侧,已知B点坐标是(8,0),tan∠ABC=,△ABC的面积为8.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若直线EF‖x轴,从过C点开始,以每秒1个单位长度的速度向x轴方向平移,并且分别交y轴、线段CB于点E,F。动点P同时从B点出发在线段BO上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动,连结FP,设运动时间为t秒。问:当t取何值时,的值最小,并求出最小值.
(3)在满足(2)的条件下,存在______个t值,使得点P,B,F构成;若存在,请直接写出t的值.
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