Question

如图，PQ=3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q．则AB=    ．

Answer 1

【答案】分析：连接MA，MP，延长PQM与AB交于E，构建直角三角形，解出直角三角形即可．
解答：解：设大圆的圆心为M点，连接MA，MP，MB，连接PM并延长与AB交于点E，交小圆于Q点，
由对称性可知P、Q为切点，E为AB的中点；
设AB=2a（正方形的边长），在直角三角形MAE中，
∵小圆在正方形的外部且与CD切于点Q．
∴PQ⊥CD，
∵CD∥AB，
∴PE⊥AB，
∴AE=BE，
∴AM²=ME²+AE²，
∵PQ=3，
∴ME=2a+3-5=2a-2，
∴5²=（2a-2）²+a²
解得，a=3或-1.4（舍去）
所以AB=6．
点评：解决本题的难点是作出辅助线构造直角三角形．