Question

如图所示，△ABC的面积为16，AB=4，D为AB上任一点，F为BD的中点，DE∥BC，FG∥BC，分别交AC于E、G，设AD=x．
（1）把△ADE的面积S₁，用含x的代数式表示；
（2）把梯形DFGE的面积S₂，用含x的代数式表示．

Answer 1

分析：（1）先由DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方得出

S1

S△ABC

=（

AD

AB

）²，即可求出S₁=x²；
（2）先由FG∥BC，得出△AFG∽△ABC，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方得出

S△AFG

S△ABC

=（

AF

AB

）²，化简得出S_△AFG=

x2+8x+16

4

，再根据S₂=S_△AFG-S₁即可求解．

解答：解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

S1

S△ABC

=（

AD

AB

）²，即

S1

16

=（

x

4

）²，
∴S₁=x²；

（2）∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ABC，
∴

S△AFG

S△ABC

=（

AF

AB

）²，
∵F为BD的中点，
∴DF=BF=

1

2

（4-x），
∴AF=AD+DF=x+

1

2

（4-x）=

1

2

（4+x），
∴

S△AFG

16

=（

4+x 2

4

）²，
∴S_△AFG=

x2+8x+16

4

，
∴S₂=S_△AFG-S₁=

x2+8x+16

4

-x²=-

3

4

x²+2x+4．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，线段中点的定义，难度适中．利用相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．