Question

已知：在等边△ABC中，AB、cosB是关于x的方程x²-4mx-

1

2

x+m²=0的两个实数根．D、E分别是BC、AC上的点，且∠ADE=60°
（1）求AB的长；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的每一个角都是60°求出cosB=

1

2

，代入方程求出m的值，再利用根与系数的关系列式计算即可求出AB；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CDE=∠BAD，用x表示出CD，再根据两角对应相等，两三角形相似求出△ABD和△DCE相似，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式表示出CE，然后根据AE=AC-CE整理即可得解．

解答：解：（1）在等边△ABC中，∠B=60°，
所以，cosB=cos60°=

1

2

，
∵cosB是方程的根，
∴（

1

2

）²-4m×

1

2

-

1

2

×

1

2

+m²=0，
整理得，m²-2m=0，
解得m₁=2，m₂=0（舍去），
∵AB是方程的另一根，
∴AB+

1

2

=4m+

1

2

=4×2+

1

2

，
解得AB=8；

（2）在△ABD中，∠ADC=∠B+∠BAD=60°+∠BAD，
∵∠ADE=60°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=60°+∠BAD-∠60°=∠BAD，
∵BD=x，
∴CD=BC-BD=8-x，
∵在△ABD和△DCE中，

∠CDE=∠BAD ∠B=∠C

，
∴△ABD∽△DCE，
∴

AB

CD

=

BD

CE

，
即

8

8-x

=

x

CE

，
解得CE=

1

8

x（8-x），
根据图形，AE=AC-CE，
所以，y=8-

1

8

x（8-x）=

1

8

x²-x+8，
即y=

1

8

x²-x+8．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，根与系数的关系，等边三角形的性质，根据方程解的定义求出m的值是解题的关键．