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    12．如图，抛物线经过点A（4，0）、B（1，0）、C（0，-2）三点．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
    （3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标；
    （4）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
    （2）由A、B关于对称轴对称，则可知直线AC与对称轴的交点即为满足条件的点D，利用待定系数法可求得直线AC的解析式，则可求得D点坐标；
    （3）可设出D点坐标，过D作DE∥y轴，交抛物线于点E，则可表示出E点坐标，从而可表示出DE的长，进一步可表示出△DCA的面积，利用二次函数的性质，可求得D点的坐标；
    （4）设出P点坐标，则可表示出PM和AM的长，由三角形相似的性质可得到P点坐标的方程，可求得P点坐标．

    解答 解：
    （1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
    把A、B、C三点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
    ∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{5}{2}$x-2；
    （2）∵y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{5}{2}$x-2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$）2+$\frac{9}{8}$，
    ∴抛物线对称轴为x=$\frac{5}{2}$，
    设直线AC交对称轴于点D，如图1，

    ∵A、B关于对称轴对称，
    ∴DA=DB，
    ∴CD+BD=CD+DA，
    ∵C、D、A三点在一条直线上，
    ∴CD+DA=CA最小，
    ∵C（0，-2），
    ∴可设直线AC解析式为y=kx-2，
    把A（4，0）代入可得4k-2=0，解得k=$\frac{1}{2}$，
    ∴直线AC解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
    当x=$\frac{5}{2}$时，y=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$-2=-$\frac{3}{4}$，
    ∴存在满足条件的点D，其坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{4}$）；
    （3）∵D在直线AC上方的抛物线上，
    ∴可设D（t，-$\frac{1}{2}$t2+$\frac{5}{2}$t-2）（0＜t＜4），
    过D作DE∥y轴，交直线AC于点E，如图2，

    则E（t，$\frac{1}{2}$t-2），
    ∴DE=-$\frac{1}{2}$t2+$\frac{5}{2}$t-2-（$\frac{1}{2}$t-2）=-$\frac{1}{2}$t2+2t，
    ∴S△ACD=S△DEC+S△DEA=$\frac{1}{2}$DE•OA=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$t2+2t）=-t2+4t=-（t-2）2+4，
    ∵-1＜0，
    ∴当t=2时，S△ACD有最大值4，此时D（2，1），
    ∴当D点坐标为（2，1）时，△DCA的面积最大；
    （4）设P点坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{5}{2}$m-2），则M（m，0），如图3，
    ∴PM=|-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{5}{2}$m-2|，AM=|m-4|，
    ∵A（4，0），C（0，-2），
    ∴OA=4，OC=2，

    ∵PM⊥x轴，
    ∴∠PMA=∠COA=90°，
    ∴当△PAM和△CAO相似时，有$\frac{PM}{AM}$=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$或$\frac{PM}{AM}$=$\frac{OA}{OC}$=2两种情况，
    ①当$\frac{PM}{AM}$=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$时，则有2|-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{5}{2}$m-2|=|m-4|，
    解得m=4或m=2或m=0，
    当m=4时，此时P点在x轴上，舍去，
    当m=0时，P（0，-2），当m=2时，P（2，1）；
    ②当$\frac{PM}{AM}$=$\frac{OA}{OC}$=2时，则有|-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{5}{2}$m-2|=2|m-4|，
    解得m=4或m=5或m=-3，
    当m=5时，P（5，-2），当m=-3时，P（-3，-14），
    综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，-2）或（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）．

    点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、对称的性质、二次函数的性质、三角形的面积、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出点D的位置是解题的关键，在（3）中用D点坐标表示出△DCA的面积是解题的关键，在（4）中用P点坐标表示出PM、AM的长，用相似三角形的性质得到关于m的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

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