Question

如图，已知反比例函数y=

k

x

(k≠0)的图象经过点（

1

2

，8），直线y=-x+b经过该反比例函数图象上的点Q（4，m）．
（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式-x+b＞

k

x

的解集

1＜x＜4

；
（3）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结OP、OQ，求△OPQ的面积．

Answer 1

分析：（1）先把点（

1

2

，8）代入y=

k

x

可求出k的值，从而得到反比例函数解析式为y=

4

x

；再把Q（4，m）代入反比例函数解析式求出m，确定Q点坐标（4，1），
然后把Q（4，1）代入y=-x+b求出b即可得到直线的解析式；
（2）先解方程组

y=-x+5 y= 4 x

得到P点坐标为（1，4），然后观察函数图象得到当1＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，即-x+b＞

k

x

；
（3）先确定A点和B点坐标，然后利用S_△OPQ=S_△OAB-S_△OBP-S_△OQA和三角形面积公式进行计算．

解答：解：（1）把点（

1

2

，8）代入y=

k

x

得k=

1

2

×8=4，
∴反比例函数解析式为y=

4

x

；
把Q（4，m）代入y=

4

x

得4m=4，解得m=1，
∴点Q的坐标是（4，1），
把Q（4，1）代入y=-x+b得-4+b=1，解得b=5，
∴直线的解析式为y=-x+5；

（2）解方程组

y=-x+5 y= 4 x

得

x=4 y=1

或

x=1 y=4

，
∴P点坐标为（1，4）
当1＜x＜4时，满足-x+b＞

k

x

；
故答案1＜x＜4；

（3）把x=0代入y=-x+5得y=5，则B点坐标为（0，5）；
把y=0代入y=-x+5得-x+5=0，解得x=5，则A点坐标（5，0），B（0，5），
S_△OPQ=S_△OAB-S_△OBP-S_△OQA
=

1

2

×5×5-

1

2

×5×1-

1

2

×5×1
=

15

2

．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．