Question

已知点A（﹣1，﹣1）在抛物线y=（k²﹣1）x²﹣2（k﹣2）x+1上，点B与点A关于抛物线的对称轴对称。
（1）求k的值和点B的坐标；
（2）是否存在与此抛物线仅有一个公共点B的直线？如果存在，求出符合条件的直线的解析式；如果不存在，简要说明理由。

Answer 1

解：（1）根据题意，将x=﹣1，y=﹣1，
代入抛物线的解析式，得（k²﹣1）×（﹣1）²﹣2（k﹣2）×（﹣1）+1=﹣1
解得k₁=1，k₂=﹣3．由于k²﹣1≠0，
所以k=﹣3
抛物线的解析式是y=8x²+10x+1，
对称轴为直线x=﹣，
∴点B和点A（﹣1，﹣1）关于直线x=﹣对称，
∴B（﹣）；
（2）存在，理由如下：设经过点B的直线的解析式是y=mx+n，
将B点坐标代入得m﹣4n=4，①
又∴要使直线与抛物线只有一个公共点，
只要使方程mx+n=8x²+10x+1有两个相等的实数根，
方程mx+n=8x²+10x+1整理得，8x²+（10﹣m）x+1﹣n=0，
得△=（10﹣m）²﹣3²（1﹣n）=0②
将①代②，解出，m=6，n=，则它的解析式是y=6x+，
又有过点B，平行于y轴的直线与抛物线仅有一个公共点，即x=﹣，
答：直线的解析式y=6x+或x=﹣。