Question

11．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{3}{4}$x+6与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A，B两点，点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，DA⊥OA，点P在y轴负半轴上，OP=14．
（1）求线段PB的长；
（2）当∠PDB=90°时，求反比例函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数的解析式求出直线与x轴、y轴的交点坐标，得到OB的值，求出线段PB的长；
（2）作DE⊥OB于E，根据题意证明△DBE∽△PDE，根据相似三角形的性质得到关于k的比例式，解方程求出k的值即可．

解答 解：（1）直线y=-$\frac{3}{4}$x+6与x轴的交点A的坐标为（8，0），与y轴的交点坐标为（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴PB=OP+OB=20；
（2）作DE⊥OB于E，
∵点A的坐标为（8，0），点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，DA⊥OA，
∴DE=OA=8，OE=AD=$\frac{k}{8}$，
∵∠PDB=90°，DE⊥OB，
∴△DBE∽△PDE，
∴$\frac{BE}{DE}$=$\frac{DE}{PE}$，即8²=（6-$\frac{k}{8}$）×（14+$\frac{k}{8}$），
整理得，k²+64k-1280=0，
解得，k₁=16，k₂=-80（舍去），
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{16}{x}$．

点评 本题考查的是反比例函数的知识的综合运用，根据反比例函数的系数的几何意义求出AD的长、根据相似三角形的性质定理得到$\frac{BE}{DE}$=$\frac{DE}{PE}$，是解题的关键．