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(2010•温州三模)如图,在直角坐标系中,平行四边形AOCD的边OC在x轴上,边AD与y轴交于点H,CD=10,sin∠OCD=.点E、F分别是边AD和对角线OD上的动点(点E不与A、D重合),∠OEF=∠A=∠DOC,设AE=t,OF=s.
(1)求直线DC的解析式;
(2)求s关于t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)点E在边AD上移动的过程中,△OEF是否有可能成为一个等腰三角形?若有可能,请求出t的值;若不可能,请说明理由.

【答案】分析:(1)因为四边形AOCD是平行四边形,根据题意求出sin∠OCD=sin∠OAH的值.然后根据勾股定理求出AH的值.又因为
∠A=∠DOC,AD∥OC,可推出AH=HD,AD=OC.求出C,D的坐标后设直线DC的解析式为y=kx+b代入已知坐标得出解析式;
(2)已知OA=OD,可得出OF=S.求出FD,AE和DE的表达式之后推出△AEO∽△DFE根据线段的相似比求出s=-t+10(0<t<12);
(3)根据题意,要分为两种情况解答.当OF=EF,求得EO=ED,故可得出(t-6)2+64=(12-t)2求出t的值;当OE=EF时,即==1,易求t值.
解答:解:(1)∵AOCD是平行四边形
∴AO=DC=10,∠A=∠OCD
∴sin∠OCD=sin∠OAH=
∴OH=OA•sin∠A=10×=8
∴AH===6
又∵∠A=∠DOC,AD∥OC,
∴∠DOC=∠ADO,
∴∠A=∠ADO,OH⊥AD,
∴AH=HD=6,
∴AD=OC=12,
∴D(6,8)、C(12,O).
设直线DC的解析式为y=kx+b可得
-6k=8.k=-.b=16.
∴y=-x+16;(4分)

(2)∵OA=OD=10,
∵OF=S,
∴FD=10-S,AE=t,DE=12-t
又∵∠OEF=∠EDF.
∴∠AEO+∠FED=180°-∠OEF,∠DEF+∠EFD=180°-∠EDF.
∴∠AEO=∠EFD,∠A=∠EDF,
∴△AEO∽△DFE,
=
=,100-10s=12t-t2
∴s=-t+10(0<t<12);(3分)

(3)∠OFE>∠FDE=∠OEF.
∴OF≠OE.(1分)
∴△OEF是等腰三角形,则只有①OF=EF②OE=EF
①当OF=EF时.
∴∠OEF=∠EOF=∠EDO,∴EO=ED.即(t-6)2+64=(12-t)2,t=(2分)
②当OE=EF时
==1即OA=DE.12-t=10,t=2.
∴当t=或t=2时△OEF是等腰三角形.(2分)
点评:本题难度较大,主要是考查图形,三角函数以及一次函数综合的知识.本题很典型,在考试中考生应学会总结问题.
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