Question

11．如图，抛物线y=$\frac{1}{3}$（x-$\sqrt{3}$）（x-3$\sqrt{3}$）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的对称轴l与x轴的交点，点P是抛物线上一点，且∠DCP=30°，则符合题意的点P的坐标为（$\frac{11\sqrt{3}}{3}$，$\frac{16}{9}$）．

Answer 1

分析 如图，作DM⊥CD交PC于点M，作MN⊥AB于N，由△ODC∽△NMD，得$\frac{CD}{DM}$=$\frac{OC}{DN}$=$\frac{OD}{MD}$=$\sqrt{3}$，求出点M坐标，再求出直线CM的解析式，利用方程组求出交点P坐标即可．

解答 解：如图，作DM⊥CD交PC于点M，作MN⊥AB于N．
∵∠CDM=90°，∠DCM=30°，
∴CD=$\sqrt{3}$DM，
∴∠ODC+∠MDN=90°，∠MDN+∠DMN=90°，
∴∠ODC=∠DMN，
∵∠COD=∠MND=90°，
∴△ODC∽△NMD，
∴$\frac{CD}{DM}$=$\frac{OC}{DN}$=$\frac{OD}{BM}$=$\sqrt{3}$，
∴DN=$\sqrt{3}$，MN=2，
∴点B与点N重合，
∴点M坐标（3$\sqrt{3}$，2），
∴直线CM为y=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{9}x+3}\\{y=\frac{1}{3}（x-\sqrt{3}）（x-3\sqrt{3}）}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{11\sqrt{3}}{3}}\\{y=\frac{16}{9}}\end{array}\right.$，
∴点P坐标为（$\frac{11\sqrt{3}}{3}$，$\frac{16}{9}$）．

点评 本题考查二次函数性质、抛物线与x轴交点问题、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，学会通过解方程组求函数交点坐标，属于中考常考题型．