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6.观察下列各式:
$\frac{1}{1×4}=(1-\frac{1}{4})×\frac{1}{3}$
$\frac{1}{4×7}$=($\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$)×$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{7×10}$=($\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$)×$\frac{1}{3}$
利用你所发现的规律尝试计算下式:$\frac{1}{1×4}+\frac{1}{4×7}+\frac{1}{7×10}+…+\frac{1}{100×103}$.

分析 分子是1,分母是相差3的两个自然数的乘积,可以拆成以这两个自然数为分母,分子是1的两个分数差的$\frac{1}{3}$,由此规律拆分计算即可.

解答 解:$\frac{1}{1×4}+\frac{1}{4×7}+\frac{1}{7×10}+…+\frac{1}{100×103}$
=$\frac{1}{3}$×(1-$\frac{1}{4}$)+$\frac{1}{3}$×($\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$)+$\frac{1}{3}$×($\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$)+…+$\frac{1}{3}$×($\frac{1}{100}$-$\frac{1}{103}$)
=$\frac{1}{3}$×(1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{103}$)
=$\frac{1}{3}$×(1-$\frac{1}{103}$)
=$\frac{1}{3}$×$\frac{102}{103}$
=$\frac{34}{103}$.

点评 此题考查数字的变化规律,注意分子与分母之间的联系,找出计算的规律拆分,掌握拆分前后分数的大小不能变.

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