Question

9．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，点O在AB上，BD⊥AB，点B是垂足，OD∥AC，连接CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AC•BD=OA•CB．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得出∠A=∠DOB，∠ACO=∠DOC，求出∠A=∠ACO，求出∠DOB=∠DOC，根据SAS推出△COD≌△BOD，根据全等得出∠DCO=∠DBO，求出OC⊥CD，根据切线的判定得出即可；
（2）求出△ACB∽△OBD，得出比例式$\frac{AC}{OB}$=$\frac{BC}{BD}$，即可求出答案．

解答 证明：（1）连接OC，
∵OD∥AC，
∴∠A=∠DOB，∠ACO=∠DOC，
∵AO=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠DOB=∠DOC，
在△COD和△BOD中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠COD=∠BOD}\\{OD=OD}\end{array}\right.$
∴△COD≌△BOD（SAS），
∴∠DCO=∠DBO，
∵BD⊥AB，
∴∠DCO=∠DBO=90°，
即OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）∵AB为直径，BC⊥AB，
∴∠ACB=∠OBD=90°，
∵∠A=∠DOB，
∴△ACB∽△OBD，
∴$\frac{AC}{OB}$=$\frac{BC}{BD}$，
∴AC•BD=OB•CB，
∵OA=OB，
∴AC•BD=OA•CB．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，切线的判定，三角形的外接圆的应用，能求出∠OCD=90°和△ACB∽△OBD是解此题的关键，注意：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线．