在平面直角坐标系中.已知抛物线y=x2+bx+c过点O．(1)求出该抛物线的函数解析式,(2)如图1.设该抛物线的对称轴为直线l.点E与点P分别在抛物线上.且关于直线l对称.点E与点F关于y轴对称．①求证:四边形OAPF为平行四边形,在图2中用尺规作图作出使四边形OAPF为菱形时点P和点F的位置.并作出此菱形．②若四边形OAPF的面积为20.求出所有符合条件的点P和点F的坐标,③若四边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．在平面直角坐标系中（O为坐标原点），已知抛物线y=x²+bx+c过点O（0，0），B（1，-3）．
（1）求出该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，设该抛物线的对称轴为直线l，点E与点P分别在抛物线上，且关于直线l对称，点E与点F关于y轴对称．
①求证：四边形OAPF为平行四边形；在图2中用尺规作图作出使四边形OAPF为菱形时点P和点F的位置，并作出此菱形．
②若四边形OAPF的面积为20，求出所有符合条件的点P和点F的坐标；
③若四边形OAPF的面积为S，则S取何值时，对应的点F有且只有2个？

分析（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2））①如图1中，连接OE、AP．只要证明OF∥AP即可．再根据菱形的四边相等，画出图形即可．
②根据四边形OAPF的面积为20，OA=4，推出OA边上的高为5，对于抛物线y=x²-4x，y=5时，x²-4x-5=0，解得x=-1或5，由此即可解决问题．
③求出当点P与抛物线顶点重合时，S=4×4=16，由此不难的长结论．

解答解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c过点O（0，0），B（1，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{1+b+c=-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-4x．

（2）①如图1中，连接OE、AP．

∵点E与点P分别在抛物线上，且关于直线l对称，O、A关于对称轴对称，
∴OE=AP，PE∥OA，
∵OE与PA不平行，
∴四边形OAPE是等腰梯形，
∴∠OEP=∠APE，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE=∠APE，
∴OF∥AP，
∴四边形OAPF是平行四边形．
菱形OAPF如图2所示，

作法：a、以A为圆心，OA为半径画弧交抛物线于P（如图），
b、分别以O、P为圆心，OA为半径画弧，两弧交于点F．
c、连接OF、PF．
四边形OAPF是菱形，即为所求．
②∵四边形OAPF的面积为20，OA=4，
∴OA边上的高为5，
对于抛物线y=x²-4x，y=5时，x²-4x-5=0，解得x=-1或5，
此时点P坐标为（-1，5）或（5，5），对于的点F坐标分别为（1，5）或（-5，5），（如图3所示）

③当点P与抛物线顶点重合时，易知S=4×4=16，
∴当S=16时，对应的点F有3个，
当0＜S＜16时，对应的点F有四个，
当S＞16时，对应的点F有2个．
综上所述S＞16时，对应的点F有且只有2个．

点评本题考查二次函数综合题、待定系数法、平行四边形的判定、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会画好图形解决问题，解题时考虑特殊点解决问题，属于中考压轴题．

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