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    6．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：
    ①△ABE≌△DCF；②△DPH是等腰三角形；③PF=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$AB；④$\frac{{S}_{△PBD}}{{S}_{四边形ABCD}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$．
    其中正确结论的个数是（　　）
    A．1B．2C．3D．4

    分析 ①利用等边三角形的性质以及正方形的性质得出∠ABE=∠DCF=30°，再直接利用全等三角形的判定方法得出答案；
    ②利用等边三角形的性质结合正方形的性质得出∠DHP=∠BHC=75°，进而得出答案；
    ③利用相似三角形的判定与性质结合锐角三角函数关系得出答案；
    ④根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD的面积=△BCP的面积+△CDP面积-△BCD的面积，得出答案．

    解答 解：∵△BPC是等边三角形，
    ∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
    在正方形ABCD中，
    ∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
    ∴∠ABE=∠DCF=30°，
    在△ABE与△CDF中，
    $\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠ADC}\\{∠ABE=∠DCF}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
    ∴△ABE≌△DCF，故①正确；

    ∵PC=DC，∠PCD=30°，
    ∴∠CPD=75°，
    ∵∠DBC=45°，∠BCF=60°，
    ∴∠DHP=∠BHC=75°，
    ∴PD=DH，
    ∴△DPH是等腰三角形，故②正确；

    ∵△BPC是等边三角形，
    ∴可得∠FPE=∠PFE=60°，
    ∴△FEP是等边三角形，
    ∴△FPE∽△CPB，
    ∴$\frac{PF}{PC}$=$\frac{EF}{BC}$，
    设PF=x，PC=y，则DC=y，
    ∵∠FCD=30°，
    ∴y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x+y），
    整理得：（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
    解得：$\frac{x}{y}$=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$，
    则PF=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$AB，故③正确；

    如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
    设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，
    ∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
    ∴∠PCD=30°
    ∴PN=PB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，PM=PC•sin30°=2，
    S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD
    =$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×4×4
    =4$\sqrt{3}$+4-8=4$\sqrt{3}$-4，
    ∴$\frac{{S}_{△PBD}}{{S}_{四边形ABCD}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，故④正确；
    故正确的有4个，
    故选：D．

    点评 本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定等知识，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义表示出出FE及PC的长是解题关键．

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