Question

5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，∠ABD=30°，AC⊥BC，AB=12cm，则△COD的面积为（　　）

• A． 4cm²
• B． 3$\sqrt{3}$cm²
• C． 4$\sqrt{3}$cm²
• D． $\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$cm²

Answer 1

分析 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，易证得△ABD≌△BAC，即可求得∠CAB=∠DBA=30°，∠ACB=∠BDA=90°，可得∠ABC=60°，故∠OBC=30°，OA=OB，又由△OCD∽△OAB，根据相似三角形的对应边成比例，即可得OC：OA=OD：OB=1：2，然后由等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．

解答 解：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，
∴∠DAB=∠CBA，AD=BC，AC=BD，
在△ABD和△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠DAB=∠CBA}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BAC（SAS），
∴∠CAB=∠ABD=30°，
∵AC⊥BC，
∴∠DAB=∠CBA=60°，
∴∠OBC=30°，∠OAB=∠OBA=30°，
∴OA=OB，
在Rt△OBC中，$\frac{OC}{OB}=\frac{1}{2}$，
∴OC：OA=1：2，
∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴OC：OA=OD：OB=1：2，
在Rt△ABC中，BC=$\frac{1}{2}$AB=6cm，AC=$\sqrt{{AB}^{2}{-BC}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=18$\sqrt{3}$cm²，
∴S_△BOC=$\frac{1}{3}$S_△ABC=6$\sqrt{3}$cm²，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$S_△OBC=3$\sqrt{3}$cm²，
故选：B．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰梯形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．