Question

如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB，CD中点，连结EF，DE、BF．
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）DE、BF一定分别是∠ADF，∠EBC的平分线吗？若是，请给出证明；若不一定是，请对平行四边形ABCD补充一个条件使它们存在这个结果，并证明你所补充条件是正确的．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：几何图形问题,探究型,数形结合

分析：（1）由在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB，CD中点，易得AD=BC，AE=CF，∠A=∠C，即可判定：△AED≌△CFB；
（2）不一定是，补充：AB=2AD．根据平行线的性质，可得△ADE是等腰三角形，然后由平行线与等腰三角形的性质，证得DE、BF分别是∠ADF，∠EBC的平分线．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E、F分别是边AB，CD中点，
∴AE=CF，
在△AED和△CFB中，

AD=CB ∠A=∠C AE=CF

，
∴△AED≌△CFB（SAS）；

（2）不一定是，补充：AB=2AD．
∵在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB，CD中点，AB=2AD，
∴AE=AD，AB∥CD，
∴∠ADE=∠AED，∠AED=∠CDE，
∴∠ADE=∠CDE，
即DE是∠ADC的平分线；
同理：BF是∠EBC的平分线．

点评：此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．