Question

如图，在直角梯形纸片ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，CD＞AD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF．连接EF并展开纸片．
（1）判断四边形ADEF的形状，并说明理由．
（2）取线段AF的中点G，连接EG、DG，如果DG∥CB，试说明四边形GBCE是等腰梯形．

Answer 1

分析：（1）根据折叠的性质得到∠DEF=∠A=90°，DA=DE，由AB∥DC得∠ADE=90°，则可判断四边形ADEF为矩形，加上邻边相等，由此可判断四边形ADEF为正方形；
（2）由DG∥CB，DC∥AB可判断四边形BGDC是平行四边形，则BC=DG，DC=BG，所以EC≠BG，于是可判断四边形EGBC是梯形，再利用G点为AF的中点和正方形ADEF为轴对称图形得到GE=DG，则EG=CB，所以可判断四边形GBCE是等腰梯形．

解答：解：（1）四边形ADEF为正方形．理由如下：
∵纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF，
∴∠DEF=∠A=90°，DA=DE，
∵AB∥DC，
∴∠ADE=90°，
∴四边形ADEF为矩形，
而DA=DE，
∴四边形ADEF为正方形；

（2）∵DG∥CB，DC∥AB，
∴四边形BGDC是平行四边形，
∴BC=DG，DC=BG，
∴EC≠BG，
∴四边形EGBC是梯形，
又∵G点为AF的中点，
∴AG=GF，
而正方形ADEF为轴对称图形，
∴GE=DG，
∴EG=CB，
∴四边形EGBC为等腰梯形．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了正方形和平行四边形的判定与性质以及等腰梯形的判定．