Question

如图，在△ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，D是BC上的一动点，过点C作CE⊥BC，连接DE，求证：∠BAD=∠EDC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长EC至E′，使CE′=CE，连接AE′、DE′，首先不难证得△ABD≌△ACE′，从而得出AD=AE′，∠BAD=∠CAE′，然后可由∠BAD+∠DAC=90°得出∠CAE′+∠DAC=90°，从而求出∠ADE′=45°，这样根据∠BAD=∠ADC-∠B=∠ADC-45°，∠E′DC=∠ADC-∠ADE′=∠ADC-45°，可得出结论．

解答：证明：延长EC至E′，使CE′=CE，连接AE′、DE′，

∵CE⊥BC，
∴∠DCE′=90°，
∵EC=E′C，
∴DE′=DE，
∴∠E′DC=∠EDC，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACE′=45°，
∴∠B=∠ACE′，
在△ABD与△ACE′中，

AB=AC ∠B=∠ACE′ BD=CE′

，
∴△ABD≌△ACE′（SAS），
∴AD=AE′，∠BAD=∠CAE′，
∴∠ADE′=∠AE′D，
∵∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠CAE′+∠DAC=90°，
∴∠ADE′=45°，
∵∠BAD=∠ADC-∠B=∠ADC-45°，∠E′DC=∠ADC-∠ADE′=∠ADC-45°，
∴∠BAD=∠E′DC，
∴∠BAD=∠EDC．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABD≌△ACE′是解题的关键．