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(2007•攀枝花)如图,在直角坐标系中,已知点A、B在x轴上,且B(t,0)(-1<t<0),等腰△ABC的顶点B在以AC为直径的半圆D上,点E是直线OC与半圆D除点C以外的另一个交点,连接AE与BC相交于点F.又已知抛物线y=a(x2-2x)向左平移2个单位长度后点O恰与点A重合、点M恰与原点O重合,并把平移后所得抛物线记为H.
(1)求证:BF=BO;
(2)如果抛物线H还经过点F,试用含t的式子表示a;
(3)若AE经过△AOC的内心I,试求出此时经过三点A、F、O的抛物线的解析式;
(4)在(3)的条件下,问在抛物线上是否存在点P,使该点关于直线AF的对称点在x轴上?若存在,请求出所有这样的点的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)通过观察图形,若证线段相等,可以证明它们所在的三角形全等,即证△OBC、△FBA全等即可;这两个三角形中,∠FAB、∠BCO对应的是同一段弧,所以这一对角相等,而∠CBO、∠ABF都是直角,且AB、BC是等腰三角形的腰,不难判断这两个三角形全等,则题目可证.
(2)由(1)的结论可以得出点F的坐标,而平移后的抛物线H可由“左加右减、上加下减”的平移规律得出,将点F的坐标代入抛物线H的解析式中求解即可.
(3)在(2)中,已经求出了用t表示出来的抛物线H的解析式,所以此题的关键是求出t的值;点I是△AOC的内心,所以直线AE是∠CAO的角平分线,即直线AC、AO关于直线AE对称,而AE⊥OC(圆周角定理),那么显然△AOC是等腰三角形,且AO=AC;抛物线左移2个单位后,O、A以及M、O重合,所以OA=OM=2,由此不难看出AO=AC=2;而△ABC是等腰直角三角形,由此可以求出AB的长,由OB=OA-AB即可得出t的值,由此得解.
(4)在(3)题中已经明确了直线AC、AO关于直线AE对称,且AO正好位于x轴上,所以直线AC与抛物线的交点都符合点P的要求.
解答:(1)证明:∵AC为半圆的直径,
∴∠ABC=∠CBO=90°,∠AEC=90°;
∵△ABC为等腰三角形,
∴BA=BC;
∵∠AEC=90°,点C、E、O在同一直线上,
∴∠AEO=90°,
∴∠1+∠3=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2;
在△ABF与△CBO中,
∠ABC=∠CBO=90°
BA=BC
∠1=∠2

∴△ABF≌△CBO,
∴BF=BO.

(2)解:∵点B(t,0),
∴BF=BO=-1,即点F的坐标(t,-t);
y=a(x2-2x)=a(x-1)2-a,即原抛物线的顶点为(1,-a);
由题意知,抛物线H的解析式可记为y=a(x+1)2-a;
∵抛物线H过点F(t,-t),
∴-t=a(t+1)2-a,at2+2at+a-a=-t
即:a=
-t
t2+2t
=-
1
t+2
(-1<t<0).

(3)解:∵O、M是抛物线y=a(x2-2x)与x轴的交点,
∴O(0,0)、M(2,0);
由题意知:A(-2,0)、OA=2;
∵AE过△ACO的内心I,
∴∠1=∠4;
∵∠AEC=∠AEO=90°,AE=AE
∴△ACE≌△AOE,
∴AC=AO,且AC与AO关于直线AE对称;
在Rt△ABC中,AC=2,∠ACB=45°,
∴AB=
2

∴BO=2-
2
,t=
2
-2;
此时抛物线H的解析式为y=-
2
2
(x2+2x),即:y=-
2
2
x2-
2
x.

(4)解:由(3)可知,直线AC与AO关于直线AE对称,所以只要直线AC与抛物线H有交点,那么就存在满足题意的点P;
设直线AC的解析式为y=kx+b,代入点A(-2,0)、C(
2
-2,
2
),得:
-2k+b=0
(
2
-2)k+b=
2

解得
k=1
b=2

故直线AC:y=x+2;
联立直线AC和抛物线的解析式,有:
y=x+2
y=-
2
2
x2-
2
x

解得
x1=-2
y1=0
x2=-
2
y2=2-
2

故所求点P的坐标为P1(-2,0)、P2(-
2
,2-
2
),即在抛物线H上存在点P1和P2,其关于直线AF的对称点在x轴上.
点评:考查了二次函数和圆的综合题,涉及了二次函数解析式的确定、圆周角定理、三角形的内心、全等三角形的判定和性质以及轴对称图形的性质等重要知识点;后面三题环环相扣,紧扣图形是解题的主要思路.
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3
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CD
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6
π
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