Question

1．如图，AB为⊙O的直径，PB为⊙O的切线，AC∥OP，点C在⊙O上，OP交⊙O于D，DA交BC于G．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）DE⊥AB于点E，交BC于F，若CG=3，DF=$\frac{5}{2}$，求tan∠DAC．

Answer 1

分析 （1）连OC，由AC∥OP，得到∠BOP=∠OAC，∠POC=∠OCA，则∠BOP=∠POC，可得△POB≌△POC，得到∠PBO=∠PC0，而PB为⊙O的切线，得∠OBP=90°，所以∠PC0=90°，根据切线的判定即可得到PC为⊙O的切线；
（2）连BD，由AB为⊙O的直径，得∠ADB=90°，而DE⊥AB，则∠BDE=∠BAD，所以∠BDE=∠BAD，从而易得到∠DBG=∠BDF，有
BF=DF=FG=$\frac{5}{2}$，BC=8，得到BH=$\frac{1}{2}$BC=8．易证Rt△BOH≌Rt△DOE，得DE=BH=8，则EF=DE-DF=8-5=3，在Rt△BEF中，利用勾股定理可求得BE=4，在Rt△DOE中，利用勾股定理即可得到⊙O的半径于是得到直径，根据勾股定理得到AC，于是得到结论．

解答 （1）证明：连OC，如图，
∵AC∥OP，
∴∠BOP=∠OAC，∠POC=∠OCA，
而OA=OC，即∠OCA=∠OAC，
∴∠BOP=∠POC，
在△POB与△POC中，$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠BOP=∠POC}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△POB≌△POC，
∴∠PBO=∠PC0，
而PB为⊙O的切线，
∴∠OBP=90°，
∴∠PC0=90°，
∴PC为⊙O的切线；

（2）解：连BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
而DE⊥AB，
∴∠BDE=∠BAD，
由（1）得∠BOP=∠COP，
∴∠BAD=∠DBF，
∴∠DBG=∠BDF，
∴BF=DF=FG=$\frac{5}{2}$，
∵∠ADE+∠DAE=∠AGF+∠CAG=∠CAG+∠DGF=90°，
∴∠ADE=∠DGF，
∴DF=GF，
∴BC=$\frac{5}{2}$$+\frac{5}{2}$+3=8，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△BOH与Rt△DOE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DOB=∠DOB}\\{OB=OD}\\{∠BHO=∠DEO}\end{array}\right.$
∴Rt△BOH≌Rt△DOE，
∴DE=BH=4．
∴EF=DE-DF=$\frac{3}{2}$，
在Rt△AEF中，BE=$\sqrt{B{F}^{2}-E{F}^{2}}$=2，
设⊙O半径为r，在Rt△DOE中，r²=4²+（r-2）²．
∴r=5．
∴AB=10，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=6，
∴tan∠DAC=$\frac{CG}{AC}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，三角函数，正确的作出辅助线是解题的关键．