Question

【题目】如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点B（0，3）和点A（3，0）．

（1）求抛物线的函数表达式和直线的函数表达式；

（2）若点P是抛物线落在第一象限，连接PA，PB，求△PAB的面积S的最大值及此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；y=-x+3（2）当a=时，S△PAB有最大值，最大值为，此时点P坐标为（，）

【解析】

（1）由A、B的坐标，利用待定系数法即可求得函数解析式；

（2）过P点作PN⊥OA于N，交直线B于M，设点P横坐标为a，则可分别表示出P、M的纵坐标，从而表示出PM的长，根据S△PAB=S△PAM+S△PBM得到S=PMOA=-(a-）2+，利用二次函数的性质可求得其最大值，及此时的点P的坐标．

（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点B（0，3）和点A（3，0），

∴，解得，

∴抛物线的函数表达式是y=-x2+2x+3；

设直线AB：y=kx+m，

根据题意得，解得，

∴直线AB的函数表达式是y=-x+3；

（2）如图，过P点作PN⊥OA于N，交直线B于M，设点P横坐标为a，则点P的坐标为（a，-a2+2a+3），点M的坐标是（a，-a+3），

又点P，M在第一象限，

∴PM=-a2+2a+3-（-a+3）=-a2+3a，

∴S△PAB=S△PAM+S△PBM=PMOA=（-a2+3a）×3=-（a-）2+，

∴当a=时，S△PAB有最大值，最大值为，

此时点P坐标为（，）．