Question

11．如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB₁折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿B₁A₁C的平分线A₁B₂折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿B_nA_nC的平分线A_nB_n+1折叠，点B_n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角．

小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情况．情形一：如图2，沿等腰三角形△ABC顶角∠BAC的平分线AD折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿△ABC的∠BAC的平分线AB₁折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿B₁A₁C的平分线A₁B₂折叠，此时点B₁与点C重合．
探究发现
（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？是（填“是”或“不是”）
（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系，并说明理由．根据以上内容猜想：若经过n 次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C．
应用提升
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°，60°，105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是5°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．

Answer 1

分析 （1）仔细分析题意根据折叠的性质及“好角”的定义即可作出判断；
（2）因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折叠的∠A₂B₂C=∠C，由∠ABB₁=∠AA₁B₁，∠AA₁B₁=∠A₁B₁C+∠C，又∠A₁B₁C=∠A₁A₂B₂，∠A₁A₂B₂=∠A₂B₂C+∠C，∠ABB₁=∠A₁B₁C+∠C=∠A₂B₂C+∠C+∠C=3∠C，由此即可求得结果；
（3）因为最小角是5°是△ABC的好角，根据好角定义，则可设另两角分别为5m°，5mn°（其中m、n都是正整数），由题意得5m+5mn+5=180，所以m（n+1）=35，再根据m、n都是正整数可得 m与n+1是35的整数因子，从而可以求得结果．

解答 解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；
理由如下：小丽展示的情形二中，
∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，
∴∠B=∠AA₁B₁；
又∵将余下部分沿∠B₁A₁C的平分线A1B2折叠，此时点B₁与点C重合，
∴∠A₁B₁C=∠C；
∵∠AA₁B₁=∠C+∠A₁B₁C（外角定理），
∴∠B=2∠C；
故答案是：是；
（2）∠B=3∠C；
在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB₁折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B₁A₁C的平分线A₁B₂折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B₂A₂C的平分线A₂B₃折叠，点B₂与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．
证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA₁B₁，∠C=∠A₂B₂C，∠A₁B₁C=∠A₁A₂B₂，
∴根据三角形的外角定理知，∠A₁A₂B₂=∠C+∠A₂B₂C=2∠C；
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA₁B₁-∠A₁B₁C=∠BAC+2∠B-2C=180°，
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；
（3）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，
因为最小角是5°是△ABC的好角，
根据好角定义，则可设另两角分别为5m°，5mn°（其中m、n都是正整数）．
由题意，得5m+5mn+5=180，所以m（n+1）=35．
因为m、n都是正整数，所以m与n+1是35的整数因子，
因此有：m=1，n+1=35；m=5，n+1=7；
所以m=1，n=34；m=5，n=6；
所以5m=5，5mn=170；5m=25，5mn=150．
所以该三角形的另外两个角的度数分别为：5°，170°；25°，150°．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了折叠问题，找规律，三角形的内角和定理，从折叠有限次数中找到规律是解本题的关键，也是难点．