Question

17．如图，平行四边形ABCD的顶点A，B的坐标分别是A（-2，0），B（0，-4），顶点C，D在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，边AD交y轴于E点，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，则k=48．

Answer 1

分析 分别过C、D作x轴的垂线，垂足为F、G，过C点作CH⊥DG，垂足为H，根据CD∥AB，CD=AB可证△CDH≌△ABO，则CH=AO=2，DH=OB=4，由此设C（m+2，n），D（m，n+4），C、D两点在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，则（m+2）n=m（n+4），解得n=2m，设直线AD解析式为y=ax+b，将A、D两点坐标代入求解析式，确定E点坐标，求S_△ABE，根据S_{四边形BCDE}=5S_△ABE，列方程求m、n的值，根据k=（m+2）n求解．

解答 解：如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，DG交BC于M点，过C点作CH⊥DG，垂足为H，
∵ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵BO∥DG，
∴∠OBC=∠GDE，
∴∠HDC=∠ABO，
∴△CDH≌△ABO（AAS），
∴CH=AO=2，DH=OB=4，设C（m+2，n），D（m，n+4），
则（m+2）n=m（n+4）=k，
解得n=2m，则D的坐标是（m，2m+4），
设直线AD解析式为y=ax+b，将A、D两点坐标代入得
$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b=0①}\\{ma+b=2m+4②}\end{array}\right.$，
由①得：2a=b，代入②得：ma+2a=2m+4，
即a（m+2）=2（m+2），解得a=2，
则$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴y=2x+4，E（0，4），BE=8，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$×BE×AO=8，
∵S_{四边形BCDE}=5S_△ABE=5×8=40，
∵S_{四边形BCDE}=S_△ABE+S_{四边形BEDM}=40，
即8+8×m=40，
解得m=4，
∴n=2m=8，
∴k=（m+2）n=6×8=48．
故答案为：48．

点评 本题考查了反比例函数的综合运用．关键是通过作辅助线，将图形分割，寻找全等三角形，利用边的关系设双曲线上点的坐标，根据面积关系，列方程求解．