Question

已知二次函数y=mx²+4（m-3）x-16
（1）证明：该二次函数的图象与x轴有两个交点；
（2）当m为何值时，二次函数的图象与x轴的两个交点间的距离为最小？求出这个最小值，并求此时二次函数图象的开口方向与顶点坐标．

Answer 1

分析：（1）令二次函数解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，表示出根的判别式，配方后得到根的判别式恒大于0，从而得到一元二次方程有两个不相等的实数根，可得二次函数图象与x轴有两个交点，得证；
（2）设出二次函数图象与x轴的两交点横坐标，把第一问表示出的根的判别式代入公式|x₁-x₂|=

△

|m|

中，化简后进行配方，根据完全平方式的最小值为0，得到两交点距离的最小值，以及此时m的值，把此时m的值代入到二次函数解析式中，确定出二次函数解析式，根据二次项系数大于0，得到抛物线开口向上，代入顶点坐标公式即可确定出顶点坐标．

解答：解：（1）令y=0，得mx²+4（m-3）x-16=0①，
∵△=16（m-3）²+64m=16（m²-2m+9）=16（m-1）²+128，
故不论m为任何不为0的实数，都有△＞0，
∴方程①有两个不等的实根，
∴二次函数图象与x轴有两个交点；

（2）设二次函数图象与x轴两交点的横坐标分别为x₁，x₂，
∵y=mx²+4（m-3）x-16是二次函数，∴m≠0，
∴二次函数与x轴两交点的距离|x₁-x₂|=

△

|m|

=

16(m-3)2+64m

|m|

=

16(m2-2m+9) m2

=4

1- 2 m + 9 m2

=4

( 3 m - 1 3 ) 2+ 8 9

，
当且仅当

3

m

-

1

3

=0，即m=9时，|x₁-x₂|有最小值，最小值为

8 2

3

，
把m=9代入原式，得此时二次函数为y=9x²+24x-16，
∵9＞0，∴当x=-

b

2a

=-

24

18

=-

4

3

时，y_min=

4ac-b2

4a

=

36×16-242

36

=-32，
∴此时二次函数图象的开口向上，顶点坐标为（-

4

3

，-32）．

点评：此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，求函数的最值，抛物线的图象与性质，以及二次函数的顶点坐标公式，一元二次方程ax²+bx+c=0的解即为二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的横坐标，故利用根的判别式判断方程解的情况即可得到二次函数与x轴交点的个数，可以利用配方的方法把式子变形，根据完全平方式恒大于等于0得出式子的最值，同时要求学生掌握二次函数的顶点坐标公式．