Question

已知抛物线y=ax²+6x-8与直线y=-3x相交于点A（1，m）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请问（1）中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y=ax²的图象？
（3）设抛物线y=ax²上依次有点P₁，P₂，P₃，P₄，…，其中横坐标依次是2，4，6，8，…，纵坐标依次为n₁，n₂，n₃，n₄，…，试求n₃-n₁₀₀₃的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可根据直线的解析式求出A点的坐标，然后将其代入抛物线中，即可求出二次函数的解析式．
（2）将（1）的抛物线解析式化为顶点式，然后进行进行平移即可．
（3）本题中P_n的横坐标应该是2n，纵坐标应该是n_n=4an²，由此可求出n₃和n₁₀₀₃的值．进而可求出它们的差．
解答：解：（1）∵点A（1，m）在直线y=-3x上，
∴m=-3×1=-3，
把x=1，y=-3代入y=ax²+6x-8，
得a+6-8=-3，
求得a=-1，
∴抛物线的解析式是y=-x²+6x-8．

（2）∵y=-x²+6x-8=-（x-3）²+1，
∴顶点坐标为（3，1），
∴把抛物线y=-x²+6x-8向左平移3个单位长度得到y=-x²+1的图象，
再把y=-x²+1的图象向下平移1个单位长度得到y=-x²的图象．

（3）由题意知，P₁，P₂，P₃，的横坐标是连续偶数，
所以P_n的横坐标是2n，
纵坐标为n₃-n₁₀₀₃所对应的纵坐标依次是-6²，-2006²．
∴n₃-n₁₀₀₃=-6²-（-2006²）
=（2006+6）（2006-6）=4024000．
点评：本题考查了二次函数解析式的确定、二次函数图象的平移以及数的规律性问题．
（3）题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．