Question

17．如图，在正方形ABCD中，点E是线段AD上的一点，以EC为斜边作等腰直角△ECF，连接BF，若AE=2，DE=3，则线段BF的长度为2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 作辅助线，构建相似三角形，证明△ACE∽△DCF，得$\frac{AE}{DF}=\sqrt{2}$，求出DF=$\sqrt{2}$，再证明E、C、F、D四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等得∠CDF=∠CEF=45°，得△BDF是直角三角形，利用勾股定理求BD和BF的长即可．

解答 解：如图，连接AC、BD、DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ACD=∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BCD=$\frac{1}{2}$×90°=45°，AC=$\sqrt{2}$CD，
∴∠ACE+∠ECD=45°，
∵△ECF为等腰三角形，
∴∠ECF=45°，EC=$\sqrt{2}$CF，
∴∠ECD+∠DCF=45°，
∴∠ACE=∠DCF，
∵$\frac{AC}{CD}=\sqrt{2}$，$\frac{EC}{CF}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{EC}{CF}$，
∴△ACE∽△DCF，
∴$\frac{AE}{DF}=\sqrt{2}$，
∵AE=2，
∴DF=$\sqrt{2}$，
∵∠ADC=∠EFC=90°，
∴E、C、F、D四点共圆，
∴∠CDF=∠CEF=45°，
∵∠BDC=45°，
∴∠BDF=∠BDC+∠CDF=90°，
∵AE=2，ED=3，
∴AD=5，
∴正方形的边长为5，
由勾股定理得：BD²=AB²+AD²=5²+5²=50，
在Rt△BDF中，BF=$\sqrt{B{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{50+（\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
故答案为：2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了正方形、等腰直角三角形的性质及相似三角形的性质和判定，知道等腰直角三角形的斜边是一直角边的$\sqrt{2}$倍，且锐角为45°；熟练掌握正方形的各边相等，各角为90°，且对角线与边的夹角为45°，在计算边长时可以利用三角形相似和勾股定理列方程求解；同时还运用了四点共圆的性质和判定得出角的度数，从而使问题得以解决．