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17.湖州师院大学生小王利用暑假开展了30天的社会实践活动,参与了湖州浙北超市的经营,了解到某成本为15元/件的商品在x天销售的相关信息,如表表示:
销售量p(件)P=45-x
销售单价q(元/件)当1≤x≤18时,q=20+x
当18<x≤30时,q=38
设该超市在第x天销售这种商品获得的利润为y元.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)在这30天中,该超市销售这种商品第几天的利润最大?最大利润是多少?

分析 (1)根据总价=单价×数量,分别用每件商品的利润乘以这种商品的销售量,求出y关于x的函数关系式即可.
(2)首先分类讨论,求出①当1≤x≤18时,②当18<x≤30时,该超市销售这种商品所获的利润是多少,然后比较大小,判断出该超市销售这种商品第几天的利润最大,最大利润是多少即可.

解答 解:(1)①当1≤x≤18时,
y=(20+x-15)(45-x)
=(5+x)(45-x)
=-x2+40x+225                              
②当18<x≤30时,
y=(38-15)(45-x)
=23(45-x)
=-23x+1035                               
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+40x+225(1≤x≤18)}\\{-23x+1035(18<x≤30)}\end{array}\right.$;
(2)①当1≤x≤18时,y=-(x-20)2+625,
∴当x=18时,y最大值=621元.                   
②当18<x≤30时,
∵-30<0,
∴y随x的增大而减小,
又∵x取正整数,
∴当x=19时,y最大值=598(元).                
∵621>598,
∴在这30天中,该超市销售这种商品,第18天的利润最大,且最大利润为621元.

点评 此题主要考查了二次函数的应用,考查了单价、总价、数量的关系,以及函数解析式的求法,要熟练掌握.

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