【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点(与点A,B不重合),过点C作直线PQ,使得∠ACQ=∠ABC.
(1)求证:直线PQ是⊙O的切线.
(2)过点A作AD⊥PQ于点D,交⊙O于点E,若⊙O的半径为2,sin∠DAC=,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)见解析;(2)﹣.
【解析】
(1)连接OC,由直径所对的圆周角为直角,可得∠ACB=90°;利用等腰三角形的性质及已知条件∠ACQ=∠ABC,可求得∠OCQ=90°,按照切线的判定定理可得结论.
(2)由sin∠DAC=,可得∠DAC=30°,从而可得∠ACD的 度数,进而判定△AEO为等边三角形,则∠AOE的度数可得;利用S阴影=S扇形﹣S△AEO,可求得答案.
解:(1)证明:如图,连接OC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵OA=OC,
∴∠CAB=∠ACO.
∵∠ACQ=∠ABC,
∴∠CAB+∠ABC=∠ACO+∠ACQ=∠OCQ=90°,即OC⊥PQ,
∴直线PQ是⊙O的切线.
(2)连接OE,
∵sin∠DAC=,AD⊥PQ,
∴∠DAC=30°,∠ACD=∠ABC=60°.
∴∠BAC=30°,
∴∠BAD=∠DAC+∠BAC=60°,
又∵OA=OE,
∴△AEO为等边三角形,
∴∠AOE=60°.
∴S阴影=S扇形﹣S△AEO
=S扇形﹣OAOEsin60°
=
=.
∴图中阴影部分的面积为﹣.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD是边长为5的菱形,顶点A.C.D均在坐标轴上,sinB=.
(1)求过A,C,D三点的抛物线的解析式;
(2)记直线AB的解析式为y1=mx+n,(1)中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c,求当y1>y2时,自变量x的取值范围;
(3)设直线AB与(1)中抛物线的另一个交点为E,P点为抛物线上A,E两点之间的一个动点,且直线PE交x轴于点F,问:当P点在何处时,△PAE的面积最大?并求出面积的最大值.
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【题目】某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度,如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°,在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°,旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为3米,则旗杆AB的高度为
A.9米B.6米C.6米D.(6+)米
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【题目】为了解某校九年级学生的体质健康状况,随机抽取了该校九年级学生的10%进行测试,将这些学生的测试成绩(x)分为四个等级:优秀;良好;及格;不及格,并绘制成以下两幅统计图.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是______;
(2)计算所抽取学生测试成绩的平均分;
(3)若不及格学生的人数为2人,请估算出该校九年级学生中优秀等级的人数.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系,相似比为1:3,∠ACB=∠CED=90°,A、C、E是x轴正半轴上的点,B、D是第一象限的点,BC=2,则点D的坐标是( )
A.(9,6)B.(8,6)C.(6,9)D.(6,8)
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是DA、BC延长线上的点,且∠ABE=∠CDF.
求证:(1)△ABE≌△CDF;
(2)四边形EBFD是平行四边形.
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【题目】新冠疫情期间,某校开展线上教学,有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种.为分析该校学生线上学习情况,在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度,数据整理结果如下表(数据分组包含左端值不包含右端值)
(1)你认为哪种教学方式学生的参与度更高?简要说明理由.
(2)从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生,估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少?
(3)该校共有800名学生,选择“录播”和“直播”的人数之比为1:3,估计参与度在0.4以下的共有多少人?
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【题目】2017年9月,我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”,本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读,某校对A《三国演义》、B《红楼梦》、C《西游记》、D《水浒》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查,随机调查了若干名学生(每名学生必选且只能选这四大名著中的一部)并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图:
(1)本次一共调查了 名学生;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍,请用树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率.
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