Question

【题目】如图，的半径均为．

请在图①中画出弦，，使图①为轴对称图形而不是中心对称图形；请在图②中画出弦，，使图②仍为中心对称图形；

如图③，在中，，且与交于点，夹角为锐角．求四边形的面积（用含，的式子表示）；

若线段，是的两条弦，且，你认为在以点，，，为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图④说明理由．

Answer 1

【答案】答案不唯一，详见解析；（2）；（3）四边形是边长为的正方形时，为最大值．

【解析】

（1）使图①为轴对称图形而不是中心对称图形,可让弦AB=CD且AB与CD不平行（相交时交点不为圆心）,使图②仍为中心对称图形,可让AB=CD且AB∥CD,也可让AB,CD作为两条圆内不重合的直径,（2）可以以CD或AB为底来求两三角形的面积和,先作高,然后用AE,BE（CE,DE也可以）和sinα表示出这两个三角形的高,然后根据三角形的面积公式可得出CD×（AE+BE）sinα,AE+BE正好是AB的长,因此两三角形的面积和就能求出来了,
（3）要分两种情况进行讨论:当两弦相交时,情况与（2）相同,可用（2）的结果来得出四边形的面积（此时四边形的面积正好是两个三角形的面积和）,当两弦不相交时,我们可连接圆心和四边形的四个顶点,将四边形分成4个三角形来求解,由于AB=CD=R,那么我们可得出△OAB和△OCD应该是个等腰直角三角形,那么他们的面积和就应该是R2,下面再求出△AOD和△BOC的面积和,我们由于∠AOD+∠BOC=180°,我们可根据这个特殊条件来构建全等三角形求解,延长BO交圆于E,那么△AOD就应该和△CEO全等,那么求出三角形BCE的面积就求出了△AOD和△BOC的面积和,那么要想使四边形的面积最大,△BEC中高就必须最大,也就是半径的长,此时△BEC的面积就是R2,△BEC是个等腰直角三角形,那么四边形ABCD就是个正方形,因此四边形ABCD的最大面积就是2R2,因此当∠AOD=∠BOC=90°时,四边形ABCD的面积就最大,最大为2R2．

答案不唯一,如图①、②

过点,分别作的垂线,垂足分别为,,

∵,,

∴

．

存在,分两种情况说明如下:

①当与相交时,由及知,

②当与不相交时,如图④．

∵,,

∴,

而

延长交于点,连接,

则,

∴,

∴,

∴,

∴,

过点作,垂足为,

则,

∴当时,取最大值,

综合①、②可知,当,

即四边形是边长为的正方形时,为最大值．