Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CD，∠ACD＝α，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连接DE，AE，BD．

（1）依题意补全图形；

（2）判断AE与BD的数量关系与位置关系并加以证明；

（3）若60°＜α≤110°，AB＝4，AE与BD相交于点G，直接写出点G到直线AB的距离d的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）AE＝BD，AE⊥BD，证明详见解析；（3）＜d≤2．

【解析】

（1）由旋转的性质即可得出结论；

（2）由旋转的性质得出∠ACE＝∠BCD，AC＝BC＝CE＝CD，进而判断出AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，最后用三角形的内角和定理即可得出结论；

（3）先判断出点G是以AB为直径的圆上的一段弧，再用等腰三角形的性质求出∠ACE，进而得出∠BAG，即可得出结论．

解：（1）补全图形如图1所示，

（2）如图1，由旋转知，CE＝CD，∠DCE＝90°＝∠ACB，

∴∠ACE＝∠BCD，

∵AC＝BC＝CD，

∴AC＝BC＝CE＝CD，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，

在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠ABC＝∠BAC＝45°，

∴∠BAG+∠ABG＝∠BAC+∠CAE+∠ABG＝∠BAC+∠CBD+∠ABG＝∠BAC+∠ABC＝90°，

∴∠AGB＝90°，

∴AE⊥BD，

即：AE＝BD，AE⊥BD；

（3）由（2）知，∠AGB＝90°，

∴点G在以AB为直径的圆上，如图2，

∵60°＜α≤110°，

∴点G在弧GCG'上（不包括点G，包括点G'），

∵AC＝BC，

∴点C到直径AB的距离为2，

即：点G到AB的最大距离为2，

当α＝60°时，即：∠ACD＝60°，

由旋转知，∠DCE＝90°，

∴∠ACD+∠DCE＝60°+90°＝150°＜180°，

∴点G在AC左侧，

∴∠ACE＝60°+90°＝150°，

由（2）知，AC＝CE，

∴∠CAE＝（180°﹣∠ACE）＝15°，

∴∠BAG＝BAC+∠CAE＝60°，

∴∠ABG＝90°﹣∠BAG＝30°，

∵AB＝4，

∴AG＝2，

过点G作GH⊥AB于H，

∴∠AHG＝90°，

∴GH＝AGcos∠BAG＝2×＝，

当α＝110°时，即：∠ACD'＝110°，

由旋转知，∠D'CE'＝90°，

∴∠ACD'+∠D'CE'＝200°，此时，点G'在BC右侧，

∴∠ACE'＝360°﹣200°＝160°，

∴∠CAE'＝（180°﹣∠ACE'）＝10°，

∴∠BAG'＝45°﹣10°＝35°＞30°，

过点G'作G'H'于H'，

∴G'H'＞GH，

p>∴点G到直线AB的距离d的取值范围为＜d≤2．