Question

【题目】数学课上，王老师布置如下任务：

如图1，直线MN外一点A，过点A作直线MN的平行线．

(1)小路的作法如下：

① 在MN上任取一点B，作射线BA；

② 以B为圆心任意长为半径画弧，分别交BA和MN于C、D两点（点D位于BA的左侧），再以A为圆心，相同的长度为半径画弧EH，交BA于点E（点E位于点A上方）；

③以E为圆心CD的长为半径画弧，交弧EH于点F（F点位于BA左侧）

④作直线AF

⑤直线AF即为所求作平行线．

请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：

(2)请你参考小路的作法，利用图2再设计一种“过点A作MN的平行线”的尺规作图过程（保留作图痕迹），并说明其中蕴含的数学依据．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）根据作图过程，利用SSS易证得，从而得到同位角相等，两直线平行；

（2）依照小路的作法，根据“内错角相等，两直线平行”，作出平行线，同样可以用SSS易证得，从而得到内错角相等，两直线平行的结论.

（1）证明：如图，根据作图过程，知：，

连接EF和AD，

在和中，，

∴(SSS)，

∴(同位角相等，两直线平行)

故答案为： ； 同位角相等，两直线平行

（2）作图方法：

① 在MN上任取一点B，作射线BA(为锐角)；

② 以B为圆心任意长为半径画弧，分别交BA和BN于C、D两点（点D位于BA的右侧），再以A为圆心，相同的长度为半径画弧EH，交BA于点E（点E位于点A下方）；

③以E为圆心CD的长为半径画弧，交弧EH于点F（F点位于BA左侧）

④作直线AF

⑤直线AF即为所求作平行线．

证明：如图，根据作图过程，知：，

连接EF和AD，

在和中，，

∴(SSS)，

∴(内错角相等，两直线平行)