Question

13．已知二次函数y₁=x²-6x+9-t²和一次函数y₂=-2x-2t+6．
（1）当t=0时，试判断二次函数y₁的图象与x轴是否有公共点，如果有，请写出公共点的坐标；
（2）若二次函数y₁的图象与x轴的两个不同公共点，且这两个公共点间的距离为8，求t的值；
（3）求证：不论实数t取何值，总存在实数x，使y₁≥ty₂．

Answer 1

分析 （1）求出△的值，当△＞0，抛物线与x轴有两个交点，当△=0时，抛物线与x轴有唯一的公共点，当△＜0时，抛物线与x轴没有公共点．
（2）由对称轴为x=3，又AB=8，根据对称性可知A、B的坐标分别为（-1，0）、（7，0），利用待定系数法即可解决问题．
（3）由y₁-ty₂=（x²-6x+9-t²）-t（-2x-2t+6），可知化简后是非负数，即可证明．

解答 解：（1）当t=0时，y₁=x²-6x+9，
∵△=0，所以二次函数y₁=x²-6x+9的图象与x轴有唯一公共点．
令y₁=0，有x²-6x+9=0，解得x₁=x₂=3，所以这个公共点的坐标为（3，0）．

（2）抛物线y₁=x²-6x+9-t²=（x-3）²-t²的对称轴为x=3，
其图象与x轴的交点分别为A、B，又AB=8，由对称性可知A、B的坐标分别为（-1，0）、（7，0），
把x=-1，y=0代入y₁=x²-6x+9-t²中，可得，t²=16，所以t=±4

（3）y₁-ty₂=（x²-6x+9-t²）-t（-2x-2t+6）
=x²+（2t-6）x+t²-6t+9
=x²+（2t-6）x+（t-3）²
=（x+t-3）²≥0，
所以y₁-ty₂≥0，
所以不论实数t取何值，总存在实数x，使y₁≥ty₂．

点评 本题考查二次函数综合题、一元二次方程、完全平方公式等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，题目难度不大，属于中考常考题型．