Question

阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）²=（1+x）[1+x+x（1+x）]
=（1+x）²[1+x]
=（1+x）³
（1）上述分解因式的方法是　　法，共应用了　　次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰¹⁰，则需要应用上述方法　　次，分解因式后的结果是　　．
（3）请用以上的方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ（n为正整数），必须有简要的过程．

Answer 1

（1）提取公因式  2 （2）2010 （1+x）²⁰¹¹ （3）（1+x）ⁿ⁺¹

试题分析：（1）首先提取公因式（1+x），再次将[1+x+x（1+x）]提取公因式（1+x），进而得出答案；
（2）根据（1）种方法即可得出分解因式后的结果；
（3）参照上式规律即可得出解题方法，求出即可．
解：（1）根据已知可以直接得出答案：
提取公因式，2；
（2）2010，（1+x）²⁰¹¹；
（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）^（n﹣1）]，
=（1+x）²[1+x+x（1+x）x（1+x）^（n﹣2）]，
=（1+x）ⁿ⁺¹．
点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，做题的关键是：①正确找到公因式，②注意观察寻找规律．