Question

解决问题：如图，已知正方形ABCD，点E是边AB上一动点，点F在AB边或其延长线上，点G在边AD上．连结ED，FG，交点为H．
小题1:如图1，若AE=BF=GD，请直接写出∠EHF=    ▲   °；
小题2:如图2，若EF =CD，GD=AE，设∠EHF=α．请判断当点E在AB上运动时， ∠EHF的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出tanα．                                              

Answer 1

小题1:45°；
连接FC和CG（如图1），由题意可知ABCD为正方形，AE=BF=GD，
 
∴△AED≌△BFC≌△DGC（SAS），
∴CF=GC，∠AED=∠BFC，∠BCF=∠DCG，
∴ED∥FC，
∴∠EHF=∠GFC，
又∵∠BCD=90°=∠BCG+∠GCD=∠BCG+∠BCF=∠GCF，
∴△GCF是等腰直角三角形，
∴∠GFC=∠FGC=45°，
∴∠EHF=45°；（4分）
小题2:答：不会变化．
证明：如图2，过点F作FM∥ED交CD于M，连接GM．
∵正方形ABCD中，AB∥CD，
∴四边形EFMD为平行四边形．
∴EF=DM，DE=FM．
∴∠3=∠4，∠EHF=∠HFM=α．
∵EF=CD，GD=AE，
∴．
∴，
∵∠A=∠GDM=90°，
∴△DGM∽△AED．
∴
∠1=∠2，
∴，
 
∵∠2+∠3=90°，∠1=∠2，∠3=∠4．
∴∠1+∠4=90°．
∴∠GMF=90°．
在Rt△GFM中，tanα=．（4分）

（1）作辅助线，连接FC和GC，可证得△FCG为等腰直角三角形，利用∠EHF=∠GFC=45°，问题可求．
（2）作辅助线，过点F作FM∥ED交CD于M，连接GM，则会有∠EHF=∠GFM，将问题转化到△GFM中，据已知正方形关系，可证得四边形EFMD为平行四边形，△GFM为直角三角形，于是，α可求．