Question

（2012•长沙）如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若EG•BG=4，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）根据旋转性质求出∠EDG=∠EBC=∠DBE，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）先求出BD=BF，BG⊥DF，求出BE=DF=2DG，根据相似求出DG的长，即可求出答案．

解答：（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠FDC=∠EBC，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠EBC，
∴∠FDC=∠EBD，
∵∠DGE=∠DGE，
∴△BDG∽△DEG．

（2）解：∵△BCE≌△DCF，
∴∠F=∠BEC，∠EBC=∠FDC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°，∠DBC=∠BDC=45°，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC，
∴∠BEC=67.5°=∠DEG，
∴∠DGE=180°-22.5°-67.5°=90°，
即BG⊥DF，
∵∠BDF=45°+22.5°=67.5°，∠F=90°-22.5°=67.5°，
∴∠BDF=∠F，
∴BD=BF，
∴DF=2DG，
∵△BDG∽△DEG，BG×EG=4，
∴

DG

EG

=

BG

DG

，
∴BG×EG=DG×DG=4，
∴DG²=4，
∴DG=2，
∴BE=DF=2DG=4．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，本题综合性比较强，有一定的难度．