【题目】如图(1),在中,,,点是斜边的中点,点,分别在线段,上, 且.
(1)求证:为等腰直角三角形;
(2)若的面积为7,求四边形的面积;
(3)如图(2),如果点运动到的延长线上时,点在射线上且保持,还是等腰直角三角形吗.请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)3.5;(3)是,理由见解析.
【解析】
(1)由题意连接AD,并利用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA),进而分析证得为等腰直角三角形;
(2)由题意分析可得S四边形AEDF=SADF+SADE=SBDE+SCDF,以此进行分析计算求出四边形的面积即可;
(3)根据题意连接AD,运用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA),进而分析证得为等腰直角三角形.
解:(1)证明:如图①,连接AD.
∵∠BAC=90,AB=AC,点D是斜边BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD,
∴∠1=∠B=45°,
∵∠EDF=90°,∠2+∠3=90°,
又∵∠3+∠4=90°,
∴∠2=∠4,
在△BDE 和△ADF中,∠1=∠B,AD=BD,∠2=∠4,
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴DE=DF,
又∵∠EDF=90°,
∴ΔDEF为等腰直角三角形.
(2)由(1)可知DE=DF,∠C=∠6=45°,
又∵∠2+∠3=90°,∠2+∠5=90°,
∴∠3=∠5,
∴△ADE≌△CDF,
∴S四边形AEDF=SADF+SADE=SBDE+SCDF,
∴ SABC=2 S四边形AEDF,
∴S四边形AEDF=3.5 .
(3)是.如图②,连接AD.
∵∠BAC=90°,AB=AC,D是斜边BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD ,
∴∠1=45°,
∵∠DAF=180°-∠1=180°—45°=135°,∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°,
∴∠DAF=∠DBE,
∵∠EDF=90°,
∴∠3+∠4=90°,
又∵∠2+∠3=90°,
∴∠2=∠4,
在△BDE和△ADF中,∠DAF=∠DBE,AD=BD,∠2=∠4,
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴DE=DF,
又∵∠EDF=90°,
∴△DEF为等腰直角三角形.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A(0,1),B(3,2),C(2,3)均在正方形网格的格点上.
(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出顶点A1,B1,C1的坐标;
(2)求△A1B1C1的面积.
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【题目】已知a+b=1,ab=﹣1,设S1=a+b,S2=a2+b2,S3=a3+b3,…,Sn=an+bn
(1)计算S2.
(2)请阅读下面计算S3的过程:
∵a+b=1,ab=﹣1
∴S3=a3+b3=(a+b)(a2+b2)﹣ab(a+b)=1×S2﹣(﹣1)=S2+1= .
你读懂了吗?请你先填空完成(2)中S3的计算结果,再用你学到的方法计算S4
(3)试写出Sn﹣2,Sn﹣1,Sn三者之间的数量关系式(不要求证明,且n是不小于2的自然数),根据得出的数量关系计算S7.
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【题目】二次函数(a、b、c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:
x | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 12 | 5 | 0 | ﹣3 | ﹣4 | ﹣3 | 0 | 5 | 12 |
给出了结论:
(1)二次函数有最小值,最小值为﹣3;
(2)当时,y<0;
(3)二次函数的图象与x轴有两个交点,且它们分别在y轴两侧.
则其中正确结论的个数是
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
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【题目】已知:如图,Rt△ABC和Rt△ABD中,∠ACB=∠ADB=90°,E为AB中点.
(1)若两个直角三角形的直角顶点在AB的异侧(如图1),连接CD,取CD中点F,连接EF、DE、CE,则DE与CE数量关系为 ,EF与CD位置关系为 ;
(2)若两个直角三角形的直角顶点在AB的同侧(如图2),连接CD、DE、CE.
①若∠CAB=25°,∠DBA=35°,判断△DEC的形状,并说明理由;
②若∠CAB+∠DBA=,当为多少度时,△DEC为等腰直角三角形,并说明理由.
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【题目】如图,在直角坐标系中,矩形的顶点与坐标原点重合,顶点、分别在坐标轴上,顶点的坐标为,、分别是、的中点.
(1)若反比例函数的图象经过点,求该反比例函数的解析式,并通过计算判断点是否在该函数的图象上;
(2)若反比例函数的图象与(包括边界)有公共点,请直接写出的取值范围.
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